投射模

在交换代数中，一个环 $R$ 上的投射模是自由模的推广，它有多种等价的定义；就几何的观点，投射模之于自由模一如向量丛之于平凡向量丛。在范畴论的语言中，投射模可以推广为一个阿贝尔范畴中的投射对象。

投射模首见于昂利·嘉当与塞缪尔·艾伦伯格的重要著作 Homological Algebra，由此定义的投射分解是同调代数的基本概念之一。

定义

此节给出投射模的两种等价定义。

自由模的直和项

投射模最直接的刻划是一个自由模的直和项；换言之，一个模 $P$ 是投射模，当且仅当存在另一个模 $Q$ 使得 $F:=P\oplus Q$ 是自由模。此时 $P$ 是 $F$ 的一个投影态射的项。

提升性质

较容易操作也较符合范畴论思想的定义是利用提升性质。模 $P$ 是投射模，当且仅当对任何模满射 $f:N\twoheadrightarrow M$ 及模态射 $g:P\rightarrow M$，存在模态射 $h:P\rightarrow N$ 使得 $f\circ h=g$（请留意：在此不要求唯一性）。用交换图表现则更明了：

此定义的优势在于它可以推广到阿贝尔范畴，从而引至投射对象的概念，在此并不需要考虑自由对象。反转箭头则得到对偶概念内射模。

另一种在探讨Ext函子时特别有用的表述如下：模 $P$ 是投射模，当且仅当任何正合序列

$0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$

都诱导出正合序列

$0\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M')\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M'')\longrightarrow 0$

换言之，$\mathrm {Hom} (P,-)$ 是正合函子；实则对任何模 $M$，函子 $\mathrm {Hom} (M,-)$ 总是左正合的，而投射性相当于右正合性。由此立刻得到投射模的同调刻划：$P$ 是投射模当且仅当

$\forall i>0,\;\mathrm {Ext} ^{i}(P,-)=0$

向量丛与局部自由模

投射模理论的想法之一是向量丛的类比，对于紧豪斯多夫空间上的实值连续函数环，或紧光滑流形上的光滑函数，此类比有严格的表述，详阅条目Swan 定理。

向量丛是局部自由的；只要环上有合适的局部化概念，例如对环的一个积性子集局部化，则可以定义局部自由模。对于诺特环上的有限生成模，其投射性等价于局部自由性。对于非诺特环，则存有局部自由但非投射模的例子。

性质

• 投射模的直和与直和项仍是投射模。
• 若 $e=e^{2}\in R$，则 $Re$ 是个投射左 $R$-模。
• 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的环称作左继承的。
• 一个环上的全体有限生成投射模构成一个正合范畴（亦见代数K-理论）。
• 域或除环上的向量空间是自由模，因而是投射模。使所有模为投射模的环称为半单环。
• 将阿贝尔群视为 $\mathbb {Z}$-模；则投射模对应于自由阿贝尔群。一般而言，此性质对主理想域也成立。
• 投射模皆为平坦模，反之不然，例如 $\mathbb {Q}$ 是平坦 $\mathbb {Z}$-模，但是非投射。
• 关于“局部自由＝投射”的想法，Kaplansky 证出如下定理：局部环上的投射模皆为自由模。有限生成投射模的情形容易证明，一般情形则较困难。

塞尔问题

Quillen-Suslin定理是另一个深入的结果：它断言若 $R$ 是域或主理想域，而 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 是其上的多项式环，则任何投射 $R$-模都是自由模。

此问题在域的情形由塞尔首先提出。Bass 解决了非有限生成模的情形，Quillen 与 Suslin 则同时而独立地处理有限生成模的情形。

文献

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X