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大星形十二面體

大星形十二面體
大星形十二面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 星形正多面體
12
30
頂點 20
歐拉特徵數 F=12, E=30, V=20 (χ=2)
虧格 0
面的種類 12個五角星
面的佈局英语Face configuration 12{5/2}
頂點圖 (5/2)3
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
施萊夫利符號 {5/2,3}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 3 | 2 5/2
對稱群 Ih, H3, [5,3], (*532)
參考索引 U52, C68, W22
對偶 大二十面體
特性 正、非凸
立體圖 Great stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)3
頂點圖
Great icosahedron.png
大二十面體
(對偶多面體)

幾何學上,大星形十二面體是一個由五角星組成的非凸正多面體[1],是正十二面體的星形多面體,其在非凸均勻多面體被編號為U52、在溫尼爾多面體模型被編號為W22。该多面體最早是由温佐·雅姆尼策尔英语Wenzel Jamnitzer於1568年發現並描述[2][3][4]。後來在1619年時,被約翰尼斯·克卜勒重新發現[5][6][7]

大星形十二面體的對偶多面體也是一種星形正多面體,同時也是星形二十面體,其為由正三角形構成的大二十面體

性質编辑

大星形十二面體共有12個面、30條邊和20個頂點[8],其每個面都是全等的正五角星[9]、每個頂點都是3個五角星的公共頂點,在頂點圖為三角形,可以用(5/2)3來表示[10]施萊夫利符號中利用 {5/2,3} 來表示,考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram中利用       來表示。

二面角编辑

大星形十二面體是一種星形正多面體,因此具有所有角相等的性質。其二面角只有一个值,其值為五平方根倒數反餘弦[11]

 

頂點坐標编辑

邊長為單位常且幾何中心位於原點的大星形十二面體,其頂點坐標為[12]

 
 
 
 

作為一個簡單多面體编辑

簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體。若大星形十二面體要成為一個簡單多面體,則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊,並將原本的五角星面分割成5個三角形面。這樣的多面體共有60個面、90條邊和32個頂點[13]

相關多面體编辑

名稱 大星形十二面體 截角大星形十二面體 大截半二十面体 截角大二十面體 大二十面體
考式英语Coxeter-Dynkin digram                                        
圖像          

對偶複合體编辑

大二十面體與其對偶的複合體為複合大二十面體大星形十二面體。其共有32個面、60條邊和32個頂點,其尤拉示性數為4,虧格為-1,有12個非凸面[14],是一種截半二十面體的星形多面體[15][16]。溫尼爾在他的書中列出將這種形狀編為W61[17][18]

   
從三角形的星狀圖
 
從五邊形的星狀圖

參見编辑

參考文獻编辑

  1. Cauchy, A. L. "Recherches sur les polyèdres." J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
  1. ^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
  2. ^ 埃里克·韦斯坦因. 大星形十二面體. MathWorld. 
  3. ^ Perspectiva corporum regularium. mathe.tu-freiberg.de. 
  4. ^ Geometric Model by A. Harry Wheeler, Great Stellated Dodecahedron. americanhistory.si.edu. 
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Kepler–Poinsot solid. MathWorld. 
  6. ^ Johannes Kepler, Harmonices Mundi (1619).
  7. ^ Johannes Kepler with E. J. Aiton, A. M. Duncan, and J. V. Field, translators, The Harmony of the World, American Philosophical Society (1997).
  8. ^ great stellated dodecahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2016-03-26). 
  9. ^ Great Stellated Dodecahedron. coolmath. (原始内容存档于2016-08-26). 
  10. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Great Stellated Dodecahedron. (5/2)3." §3.6.3 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 94-95, 1989.
  11. ^ Kepler-Poinsot Solids: Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  12. ^ Data of Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-10-01). 
  13. ^ Alexander Bogomolny. Great Stellated Dodecahedron. cut-the-knot.org. (原始内容存档于2016-08-26). 
  14. ^ compound of great stellated dodecahedron and great icosahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2015-09-06). 
  15. ^ 埃里克·韦斯坦因. Great Icosahedron-Great Stellated Dodecahedron Compound. MathWorld. 
  16. ^ H. Cundy and A. Rollett Great Icosahedron Plus Great Stellated Dodecahedron. §3.10.4 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 132-133, 1989.
  17. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  18. ^ 埃里克·韦斯坦因. Great Icosahedron-Great Stellated Dodecahedron Compound. MathWorld. 

外部連結编辑