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有限深方形阱。阱寬為。阱內位勢為0。在阱壁,位勢突然升高為。阱外位勢保持為

量子力學裏,有限深方形阱,又稱為有限深位勢阱,是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0,阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子,在這種位勢作用中的量子行為的問題,稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是,在阱外找到粒子的機率大於0。

經典力學裏,假若,粒子的能量小於阱壁的位勢,則粒子只能移動於阱內,無法存在於阱外。截然不同地,在量子力學裏,雖然粒子的能量小於阱壁的位勢,在阱外找到粒子的機率大於0。

一維阱定義编辑

一維有限深方形阱的阱寬為 ,左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為  。阱內位勢為0。在阱壁,位勢突然升高為 。阱外位勢保持為 。這一維阱將整個一維空間分為三個區域:阱左邊,阱內,與阱右邊。在每一個區域內,對應著不同的位勢,描述粒子的量子行為的波函數 也不同,標記為:[1]:78-82

 :阱左邊, (阱外區域),
 :阱內, (阱內區域),
 :阱右邊, (阱外區域)。

這些波函數,都必須滿足,一維不含時間的薛丁格方程式

 (1)

其中, 約化普朗克常數 是粒子質量 是粒子位置, 是位勢, 是能量。

阱內區域编辑

在阱內,位勢 ,方程簡化為:

 (2)

設定波數 

 (3)

代入方程(2):

 

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 正弦函數餘弦函數線性組合

 

其中,  都是複值常數,由邊界條件而決定。

阱外區域编辑

在阱外,位勢 ,薛丁格方程為:

 

視能量是否大於位勢而定,有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答,另一種是束縛粒子解答。

束縛態编辑

假若,粒子的能量小於位勢: ,則這粒子束縛於位勢阱內.稱這粒子的量子態束縛態bound state)。設定

 (4)

代入方程(1):

 

一般解是指數函數。所以,阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

 
 

其中,    都是常數。

從正確的邊界條件,可以找到常數      的值。

束縛態的波函數编辑

薛丁格方程的解答必須具有連續性連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果,波函數 的形式為:

 :阱左邊, (阱外區域),
 :阱內, (阱內區域),
 :阱右邊, (阱外區域)。

 趨向負無窮,包含 的項目趨向無窮。類似地,當 趨向無窮,包含 的項目趨向無窮。可是,波函數在任何 都必須是有限值。因此,必須設定 。阱外區域的波函數變為

 
 

在阱左邊,隨著 越小,波函數 呈指數遞減。而在阱右邊,隨著 越大,波函數 呈指數遞減。這是合理的。這樣,波函數才能夠歸一化

由於有限深方形阱對稱於 ,可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數

奇的波函數编辑

假若,波函數 是奇函數,則

 
 
 

由於整個波函數 必須滿足連續性連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:

 
 

將波函數的公式代入:

 (5)
 (6)

方程(6)除以方程(5),可以得到:

 

從方程(3)與(4),可以求得常數 與波數 的關係:

 

所以,波數是離散的,必須遵守以下方程:

 

這也造成了離散的能量。

偶的波函數编辑

假若,波函數 偶函數,則

 
 
 

由於整個波函數 必須滿足連續性連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:

 
 

將波函數的公式代入:

 (7)
 (8)

方程(8)除以方程(7),可以得到:

 

從方程(3)與(4),可以求得常數 與波數 的關係:

 

所以,波數是離散的,必須遵守以下方程:

 

這也造成了離散的能量。

散射態编辑

假若,一個粒子的能量大於位勢, ,則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此,在這裏,粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射scattering)行為。稱這粒子的量子態散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若,一維空間分為幾個區域,只有在每個區域內,位勢為常數;而在區域與區域之間,位勢不相等,則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢, ,不會被束縛於位勢阱內,能量不是離散能量譜的特殊值,而是大於或等於 的任意值。波數 ,用方程式表達為 ,也不是離散量。代入方程(1):

 
 

解答形式與阱內區域的解答形式相同:

 
 

其中,    ,都是常數。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.