一維有限深方形阱的阱寬為 ,左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為 與 。阱內位勢為0。在阱壁,位勢突然升高為 。阱外位勢保持為 。這一維阱將整個一維空間分為三個區域:阱左邊,阱內,與阱右邊。在每一個區域內,對應着不同的位勢,描述粒子的量子行為的波函數 也不同,標記為:[1]:78-82
- :阱左邊, (阱外區域),
- :阱內, (阱內區域),
- :阱右邊, (阱外區域)。
這些波函數,都必須滿足,一維不含時間的薛定諤方程式:
- ;(1)
其中, 是約化普朗克常數, 是粒子質量, 是粒子位置, 是位勢, 是能量。
在阱內,位勢 ,方程式簡化為:
- 。(2)
設定波數 為
- 。(3)
代入方程式(2):
- 。
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程式。一般解本徵函數 是正弦函數與餘弦函數的線性組合:
- ;
其中, 與 都是複值常數,由邊界條件而決定。
在阱外,位勢 ,薛定諤方程式為:
- 。
視能量是否大於位勢而定,有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答,另一種是束縛粒子解答。
假若,粒子的能量小於位勢: ,則這粒子束縛於位勢阱內.稱這粒子的量子態為束縛態(bound state)。設定
- 。(4)
代入方程式(1):
- 。
一般解是指數函數。所以,阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是
- ,
- ;
其中, , , , 都是常數。
從正確的邊界條件,可以找到常數 , , , , , 的值。
薛定諤方程式的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程式的邊界條件。
總結前面導引出的結果,波函數 的形式為:
- :阱左邊, (阱外區域),
- :阱內, (阱內區域),
- :阱右邊, (阱外區域)。
當 趨向負無窮,包含 的項目趨向無窮。類似地,當 趨向無窮,包含 的項目趨向無窮。可是,波函數在任何 都必須是有限值。因此,必須設定 。阱外區域的波函數變為
- ,
- 。
在阱左邊,隨着 越小,波函數 呈指數遞減。而在阱右邊,隨着 越大,波函數 呈指數遞減。這是合理的。這樣,波函數才能夠歸一化。
由於有限深方形阱對稱於 ,可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。
假若,波函數 是奇函數,則
- ,
- ,
- ,
由於整個波函數 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:
-
-
將波函數的公式代入:
- ,(5)
- 。(6)
方程式(6)除以方程式(5),可以得到:
- 。
從方程式(3)與(4),可以求得常數 與波數 的關係:
- 。
所以,波數是離散的,必須遵守以下方程式:
- 。
這也造成了離散的能量。
假若,波函數 是偶函數,則
- ,
- ,
- ,
由於整個波函數 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:
-
-
將波函數的公式代入:
- ,(7)
- 。(8)
方程式(8)除以方程式(7),可以得到:
- 。
從方程式(3)與(4),可以求得常數 與波數 的關係:
- 。
所以,波數是離散的,必須遵守以下方程式:
- 。
這也造成了離散的能量。
假若,一個粒子的能量大於位勢, ,則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此,在這裏,粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射(scattering)行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若,一維空間分為幾個區域,只有在每個區域內,位勢為常數;而在區域與區域之間,位勢不相等,則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢, ,不會被束縛於位勢阱內,能量不是離散能量譜的特殊值,而是大於或等於 的任意值。波數 ,用方程式表達為 ,也不是離散量。代入方程式(1):
- ,
- 。
解答形式與阱內區域的解答形式相同:
- ,
- 。
其中, 、 、 、 ,都是常數。
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.