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球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢,像重力勢電勢,都是球對稱位勢。這條目只講述,在量子力學裏,運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為,可以用薛丁格方程式表達為

其中,普朗克常數是粒子的質量是粒子的波函數位勢是徑向距離,能量

由於球對稱位勢只與徑向距離有關,與天頂角、方位角無關,為了便利分析,可以採用球坐標來表達這問題的薛丁格方程式。然後,使用分離變數法,可以將薛丁格方程式分為兩部分,徑向部分與角部分。

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薛丁格方程式编辑

採用球坐標 ,將拉普拉斯算子 展開:

 

滿足薛丁格方程式的本徵函數 的形式為:

 

其中,   ,都是函數。  時常會合併為一個函數,稱為球諧函數 。這樣,本徵函數 的形式變為:

 

角部分解答编辑

參數為天頂角 、方位角 的球諧函數 ,滿足角部分方程式

 

其中,非負整數 角動量角量子數 (滿足 )是角動量對於z-軸的(量子化的)投影。不同的  給予不同的球諧函數解答 

 

其中, 虛數單位 伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為

 

  勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為

 

徑向部分解答编辑

將角部分解答代入薛丁格方程式,則可得到一個一維的二階微分方程式:

 (1)

設定函數 。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算,可以得到

 (2)

徑向方程式變為

 (3)

其中,有效位勢 

這正是函數為 ,有效位勢為 的薛丁格方程式。徑向距離 的定義域是從  。新加入有效位勢的項目,稱為離心位勢

為了要更進一步解析方程式(2),必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例编辑

在這裏,有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點,那就是,它們的位勢都是球對稱的。因此,它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是:

  1.  :原方程變為亥姆霍兹方程 ,使用球諧函數為正交歸一基,解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
  2.  時, ;否則, :這實例比第一個實例複雜一點,可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
  3.  :研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏,是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
  4.  :關於類氫原子束縛態的實例,也有簡單的解析解。

真空狀況實例编辑

思考 的狀況,設定 ,在設定無因次的變數

 

代入方程式(2),定義 ,就會得到貝塞爾方程式,一個二階常微分方程式

 

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數 ;而 是第一類球貝塞爾函數
(真空解的邊界條件要求原點的函數值有限,因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零):

 (4)

在眞空裏,一個粒子的薛丁格方程(即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程)的解,以球坐標來表達,是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積:

 

其中,歸一常數  是非負整數, 是整數,  是實數, 

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數歸一化導引编辑

波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

 

根據球貝塞爾函數的封閉方程式

 

其中,  克罗内克δ

所以, 。取平方根,歸一常數 

球對稱的三維無限深方形位勢阱编辑

 
球貝塞爾函數 

思考一個球對稱的無限深方形阱,阱內位勢為0,阱外位勢為無限大。用方程式表達:

 

其中, 是球對稱阱的半徑。

立刻,可以察覺,阱外的波函數是0;而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同,波函數是球貝塞爾函數 。為了滿足邊界條件,波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數,球貝塞爾函數在徑向坐標 之處必須等於0:

 

設定  階球貝塞爾函數 的第 個0點,則 

那麼,離散的能級 

 

薛丁格方程式的整個解答是

 

其中,歸一常數 

波函數歸一化導引编辑

波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

 

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分:

 

設定變數 ,代入積分:

 

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式

 

其中,  克罗内克δ 表示 的第 個0點。

注意到 的第 個0點 也是 的第 個0點。所以,

 

取平方根,歸一常數 

三維均向諧振子编辑

三維均向諧振子的位勢為

 

其中, 角頻率

階梯算符的方法,可以證明N維諧振子的能量是

 

所以,三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

 (5)

設定常數 

 

回想 ,則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答:

 

其中,函數 广义拉盖尔多项式 是歸一化常數:

 

本徵能級 的本徵函數 ,乘以球諧函數 ,就是薛丁格方程式的整個解答:

 

其中 。假若 是偶數,設定 ;否則,設定 

導引编辑

在這導引裏,徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後,就是所要的答案。

首先,將徑向坐標無因次化,設定變數 ;其中, 。則方程式(5)變為

 (6)

其中, 是新的函數。

 接近0時,方程式(6)最顯著的項目是

 

所以,  成正比。

又當 無窮遠時,方程式(6)最顯著的項目是

 

因此,  成正比。

為了除去 在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用 的替換方程式:

 

經過一番運算,這個替換將微分方程式(6)轉換為

 (7)
轉換為广义拉盖尔方程式编辑

設定變數 ,則微分算子為

 
 

代入方程式(7),就可得到广义拉盖尔方程式:

 

其中,函數 

假若, 是一個非負整數,則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式:

 

因為 是非負整數,要求

  1.  
  2.   同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述 必須遵守的條件。
波函數歸一化编辑

回憶到 ,徑向函數可以表達為

 

其中, 是歸一常數。

 的歸一條件是

 

設定 。將  代入積分方程式:

 

應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性,這方程式簡化為

 

因此,歸一常數可以表達為

 

應用伽瑪函數的數學特性,同時注意  的奇偶性相同,可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

 

在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。

所以,歸一常數等於

 

類氫原子编辑

類氫原子只含有一個原子核與一個電子,是個簡單的二體系統。兩個物體之間,互相作用的位勢遵守庫侖定律

 

其中, 真空電容率 原子序 單位電荷量 是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1),

 

這方程式的解答是

 

其中,  近似於波耳半徑 。假若,原子核的質量是無限大的,則 ,並且,約化質量等於電子的質量,  是广义拉盖尔多项式,定義為[1]

 

其中, 拉盖尔多项式,可用羅德里格公式表示為

 

為了滿足 的邊界條件, 必須是正值整數,能量也離散為能級 。隨著量子數的不同,函數  都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係,必須要求 

知道徑向函數 與球諧函數 的形式,就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答:

 

導引编辑

為了要簡化薛丁格方程式,設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)

 
 

將變數  代入徑向薛丁格方程式(2):

 (8)

這方程式有兩類解答:

  1.  :量子態是束縛態,其本徵函數是平方可積函數。量子化的 造成了離散的能量譜。
  2.  :量子態是散射態,其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數  。代入方程式(8):

 (9)

 接近0時,方程式(9)最顯著的項目是

 

所以,  成正比。

又當 無窮遠時,方程式(9)最顯著的項目是

 

因此,  成正比。

為了除去 在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用 的替換方程式:

 

經過一番運算,得到 的方程式:

 

其中, 

假若, 是個非負整數  ,則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式

 

採用Abramowitz and Stegun的慣例[1]。無因次的能量是

 

其中,主量子數 滿足 ,或 

由於 ,徑向波函數是

 

能量是

 

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.