二複合二十面體

幾何學中,二複合二十面體是指由2個正二十面體複合而成的複合多面體。這種立體具備八面體群對稱性。[1]

二複合二十面體
二複合二十面體
類別複合多面體
對偶多面體二複合十二面體在維基數據編輯
識別
名稱二複合二十面體
參考索引UC46
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
node_h3 3 node_h3 4 node 
node_h3 3 node_h3 3 node_h3 
施萊夫利符號β{3,4}
βr{3,3}
性質
2
40
60
頂點24
歐拉特徵數F=40, E=60, V=24 (χ=4)
組成與佈局
複合幾何體數量2
複合幾何體種類2個正二十面體
面的種類40個正三角形
對稱性
對稱群八面體群 (Oh)
完全扭稜八面體, β{3,4}

作為完全扭稜立體

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二複合二十面體可以視作一種完全扭稜(holosnub)的立體,就類似正四面體可以扭稜成結構等價於正二十面體扭稜四面體一般[2]。作為一個完全扭稜立體的二複合二十面體在施萊夫利符號中可以用β{3,4}表示,在考克斯特符號中可以用     表示。其中,符號β表示完全扭稜[2]

對稱性

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二複合二十面體由2個正二十面體組成,每個正二十面體由20個三角形組成。這40個三角形在對稱群的群作用下分解為兩條軌道:其中16個三角形兩兩共面落在八面體平面中,而其他24個三角形各自位於獨立的平面中。其他具備二十面體對稱性之立體的二複合體也具有類似特性。[3]

相關多面體

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二複合二十面體除了八面群對稱性的複合結構外,還有另外兩種複合結構。[4]

二複合十二面體

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二複合十二面體
 
類別複合多面體
對偶多面體二複合二十面體
性質
2
24
60
頂點40
歐拉特徵數F=24, E=60, V=40 (χ=4)
組成與佈局
複合幾何體數量2
複合幾何體種類2個正十二面體
面的種類24個正五邊形
對稱性
對稱群八面體群 (Oh)

二複合二十面體是二複合十二面體的對偶多面體[3]。二複合十二面體顧名思義即2個正十二面體的複合體。其可以透過將正十二面體沿着內接立方體的4重對稱軸之一旋轉90度產生下一個正十二面體並與原有的正十二面體複合而成。在這個複合體當中8個頂點是原始立方體的頂點,另外24個頂點位於更大立方體的面上。[3]

這個立體的複合方式與五角十二面體的二複合體相同,皆位於對偶位置。同時五角十二面體的二複合體也是黃鐵礦晶型的一種可能結構。[5]

 
二複合五角十二面體:位於對偶位置的黃鐵礦晶體模型的木質模型

這種複合結構由24組多邊形組成,每組多邊形包含2個不等邊三角形和一個等腰三角形。其中不等邊三角形的一個邊長與等腰三角形的腰長相等,且其長度與二複合體對應的正十二面體邊長相等、第二條邊長為正十二面體邊長的一半、第三條邊長為:[6]

長邊長度 

等腰三角形的底邊長為:[6]

底邊長 

則其表面積 為:[6]

 

其中 為二複合體對應的正十二面體邊長、 黃金比例[6]

完全扭稜立體

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完全扭稜立體
原像  
正四面體
 
立方體
 
正八面體
 
正十二面體
 
正二十面體
完全扭稜  
完全扭稜四面體
β{3,3}
 
完全扭稜立方體
β{4,3}
 
二複合二十面體
β{3,4}
 
完全扭稜十二面體
β{5,3}
 
完全扭稜二十面體
β{3,5}

參見

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參考文獻

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  1. ^ Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 
  2. ^ 2.0 2.1 Klitzing, Richard. Snubs, Alternated Facetings, & Stott-Coxeter-Dynkin Diagrams. Symmetry-Culture and Science (Symmetrion 29 etvs st, Budapest, 1067, Hungary). 2010, 21 (4): 329––344. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 George W. Hart. Compounds of Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. (原始內容存檔於2019-04-17). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Icosahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ Modell eines Kristalls des Minerals Pyrit (Eisernes Kreuz) [Krantz 375]. universitaetssammlungen.de. [2021-09-05]. (原始內容存檔於2021-09-05). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Weisstein, Eric W. (編). Dodecahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).