三階六邊形鑲嵌蜂巢體

在雙曲幾何學中,三階六邊形鑲嵌蜂巢體又稱三階六邊形鑲嵌堆砌,是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構,是十一種三維仿緊正雙曲密鋪之一[1],由正六邊形鑲嵌的胞組成。由於其胞為一種無限面體,因此該幾何結構為仿緊空間

三階六邊形鑲嵌蜂巢體
類型雙曲正堆砌
家族堆砌
維度三維雙曲空間
對偶多胞形六階四面體堆砌
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
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node_1 3 node_1 6 node 3 node 
node 6 node_1 3 node_1 6 node 
branch_11 split2 node_1 6 node 
branch_11 splitcross branch_11 node_1 6 node_g 3sg node_g 3g node_g node_1 3 node_1 6 node_g 3sg node_g 
node_h0 6 node_1 3 node_1 6 node_h0 branch_11 split2 node_1 6 node_h0 
施萊夫利符號{6,3,3}
t{3,6,3}
2t{6,3,6}
2t{6,3[3]}
t{3[3,3]}
性質
{6,3}
{6}
組成與佈局
顶点图{3,3}
對稱性
對稱群, [6,3,3]
, [3,6,3]
, [6,3,6]
, [6,3[3]]
, [3[3,3]]
特性

性質

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三階六邊形鑲嵌蜂巢體由無限多正六邊形鑲嵌胞組成,每條都是三個正六邊形鑲嵌的公共稜,每個正六邊形鑲嵌胞的頂點都落在雙曲極限球英语Horosphere(雙曲三維極限圓英语Horocycle)上。三階六邊形鑲嵌蜂巢體的頂點圖為正四面體,代表著三階六邊形鑲嵌蜂巢體的每個頂點都是4個正六邊形鑲嵌的公共頂點。

三階六邊形鑲嵌蜂巢體在施萊夫利符號計為 {6,3,3} ,其中 {6,3} 正六邊形鑲嵌,加一個3表示每條稜都是三個正六邊形鑲嵌的公共邊。其頂點圖為 {3,3} 正四面體[3]

圖像

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這個圖像是一個三階六邊形鑲嵌蜂巢體龐加萊模型的外視角,其顯示了蜂巢體中的一個六邊形鑲嵌胞,其半徑與極限球英语horosphere相同。在這個投影圖上,無限延伸的六邊形朝向一個理想點不斷趨近

{6,3,3} {∞,3}
   
蜂巢體中的其中一個六邊形鑲嵌 三階無限邊形鑲嵌中的無限邊形(綠色)及其外接圓極限圓英语horocycle

相關多胞體與堆砌

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三階六邊形鑲嵌蜂巢體是十一種三維仿緊正雙曲密鋪之一,其他十種三維仿緊正雙曲密鋪為:

十一種三維仿緊正雙曲密鋪
 
{6,3,3}
(鑲嵌蜂巢體)
 
{6,3,4}英语Order-4 hexagonal tiling honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{6,3,5}英语Order-5 hexagonal tiling honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{6,3,6}英语order-6 hexagonal tiling honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{4,4,3}英语Square tiling honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{4,4,4}英语Order-4_square_tiling_honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{3,3,6}
(多面體堆砌
 
{4,3,6}英语order-6 cubic honeycomb
(多面體堆砌)
 
{5,3,6}英语Order-6 dodecahedral honeycomb
(多面體堆砌)
 
{3,6,3}英语Triangular tiling honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)
 
{3,4,4}英语Order-4 octahedral honeycomb
(鑲嵌蜂巢體)

參考文獻

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  1. Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
  2. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups (1999), Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆[2]
  3. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups, (2002) H3: p130. [3]页面存档备份,存于互联网档案馆
  1. ^ Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
  2. ^ The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, , ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space) Table III
  3. ^ Coxeter The Beauty of Geometry, 1999,[2], Chapter 10, Table III