# 伽罗瓦理论基本定理

## 简介

${\displaystyle L^{H}:=\{x\in L;\;\forall \tau \in H,\;\tau (x)=x\}}$

${\displaystyle K\subset L^{\mathrm {Aut} (L/K)}.}$

${\displaystyle f=\lambda _{0}+\lambda _{1}X+\cdots +\lambda _{k}X^{k},\;\,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in K,\;\,f(a)=0,}$

${\displaystyle 0=\tau (0)=\tau (f(a))=\tau (\lambda _{0}+\lambda _{1}a+\cdots +\lambda _{k}a^{k})=\lambda _{0}+\lambda _{1}\tau (a)+\cdots +\lambda _{k}\tau (a)^{k}=f(\tau (a)).}$

## 对应关系

${\displaystyle L^{H}:=\{x\in L;\;\forall \tau \in H,\;\tau (x)=x\}}$

L/K的一个中间域。给定中间域F，则Aut(L/F)Aut(L/K)的子群。如果L/K是有限的伽罗瓦扩张，那么伽罗瓦理论基本定理说明，L/K的伽罗瓦群Gal(L/K)的子群与L/K的中间域之间有一一对应关系[3]:51

${\displaystyle \forall H\subset \mathrm {Gal} (L/K),\;\mathrm {Gal} (L/L^{H})=H.}$
${\displaystyle \forall K\subset F\subset L,\;L^{\mathrm {Gal} (L/F)}=F.}$

## 例子

### 克莱因四元群

${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\;a,b,c,d\in \mathbb {Q} .}$

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sigma ({\sqrt {2}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {2}})\cdot \sigma ({\sqrt {2}})=\sigma ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})=\sigma (2)=2,\\\left(\sigma ({\sqrt {3}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {3}})\cdot \sigma ({\sqrt {3}})=\sigma ({\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}})=\sigma (3)=3.\end{aligned}}}

${\displaystyle {\begin{array}{ll}e({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;e({\sqrt {3}})={\sqrt {3}},\;&\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;\sigma ({\sqrt {3}})={\sqrt {3}}\\\tau ({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}},\;&(\tau \sigma )({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;(\tau \sigma )({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}\end{array}}}$

G = {e, σ, τ, τσ} 同构于克莱因四元群，它的子群包括 He = {e}, Hσ = {e, σ}, Hτ = {e, τ}, Hτσ = {e, τσ} 以及G自身。考虑在这些子群的作用下，保持不变的元素构成的集合：

• L中所有的元素都在e下不变，所以LHe = L
• σ将根号2变换到负根号2，而保持根号3不变，所以${\displaystyle L^{H_{\sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$
• τ将根号3变换到负根号3，而保持根号2不变，所以${\displaystyle L^{H_{\tau }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$
• τσ将根号2与根号3分别变换到负根号2与负根号3，因此只有根号6经历了两次变换而保持原号，所以${\displaystyle L^{H_{\tau \sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$
• 由于根号2和根号6在σ作用下变号，根号3在τ作用下变号，所以只有有理数能够在所有的自同构下保持不变，即${\displaystyle L^{G}=\mathbb {Q} =K}$

### 非交换群的例子

${\displaystyle {\begin{array}{ll}2=\sigma (2)=\sigma (\theta ^{3})=\left(\sigma (\theta )\right)^{3},\\1=\sigma (1)=\sigma (\omega ^{3})=\left(\sigma (\omega )\right)^{3}.\end{array}}}$

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\;f(\omega )=\omega ,\quad g(\theta )=\theta ,\;g(\omega )=\omega ^{2}.\quad fg=gf^{2}.}$

• 与上例一样，在平凡子群 {e} 作用下不变的是L中所有元素，在群G所有元素作用下不变的只有K中元素。所以平凡子群对应着LG对应着K
• G仅有一个三元子群Hf = {e, f, f2} ，在其作用下不变的是ω，因此它对应的是中间域${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]=2}$ ，等于HfG中的指数。HfG的正规子群，所以${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} }$ 是正规扩张[N 3]
• G有三个二元子群，分别是Hg = {e, g}, Hgf = {e, gf}, Hfg = {e, gf2}. 它们对应的中间域分别是${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega \theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta )}$ 。这些中间域都是有理数域的三次扩域，与对应子群在G中的指数相等。由于这三个二元子群都不是G的正规子群，所以相应的，这些中间域也不是有理数域的正规扩张。事实上，它们各自是在有理数域中添加多项式P的一个根得到的扩域，但另外两个根都不在其中。[3]:52-53

## 推广

${\displaystyle H\longrightarrow L^{H},\qquad F\longrightarrow \mathrm {Gal} (L/F)}$

## 注释

1. ^ 即以K中元素为系数的多项式。下同。
2. ^ 伽罗瓦扩张L/K可分扩张，而可分扩张的子扩张仍然是可分扩张，因此F/K必然是可分扩张。所以只要是F/K是正规扩张，就必然也是伽罗瓦扩张。
3. ^ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -不可约多项式${\displaystyle X^{2}+X+1}$ 的分裂域。
4. ^ 代数解是指能够从方程系数和有理数出发，通过有限次四则运算和开方运算得到的解。

## 参考来源

1. David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-12]. ISBN 9780471434191. （原始内容存档于2014-07-14） （英语）.
2. ^ Nathan Carter. Visual Group Theory. Mathematical Association of America. 2009: 221. ISBN 9780883857571 （英语）.
3. Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英语）.
4. ^ Cindy Tsang. Infinite Galois Theory and Profinite Group Theory (PDF). Department of Mathematics, University of California, Santa Barbara. [2014-06-14]. （原始内容 (PDF)存档于2014-07-14） （英语）.
5. ^ Brian Osserman. Infinite Galois Theory (PDF). Department of Mathematics, University of California, Davis. [2014-06-14]. （原始内容存档 (PDF)于2013-12-06） （英语）.