小斜方截半立方体

小斜方截半立方體
小斜方截半立方体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
26
48
頂點 24
歐拉特徵數 F=26, E=48, V=24 (χ=2)
面的種類 正三角形
正方形
面的佈局英语Face configuration 8{3}+(6+12){4}
頂點圖 3.4.4.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施萊夫利符號
威佐夫符號英语Wythoff symbol 3 4 | 2
康威表示法 lrCO
對稱群 Oh
參考索引 U10, C22, W13
對偶 鳶形二十四面體
特性 -
立體圖 Small rhombicuboctahedron vertfig.png
3.4.4.4
頂點圖
Deltoidalicositetrahedron.jpg
鳶形二十四面體
(對偶多面體)
Rhombicuboctahedron flat.png
(展開圖)

幾何學中,小斜方截半立方體,又稱為菱方八面體,是一種有18個正方形和8個正三角形阿基米德立體。小斜方截半立方體共有26個、48條以及24個頂點,具有點可遞性質,因此既是均勻多面體也是半正多面體

性質编辑

小斜方截半立方体每八条棱可以成为一个正八边形,共可以形成六個獨立的正八邊形。

體積與表面積编辑

边长为 的小斜方截半立方体,其表面积 和体积 如下:

表面积 

体积 

座標编辑

邊長為2且幾何中心位於原點的小斜方截半立方體,其頂點座標為:

 

的全排列。邊長為1的小斜方截半立方體,其對偶多面體鳶形二十四面體的邊長為:

  

与其他幾何體的關聯编辑

若將小斜方截半立方體扭曲使面不再是正多邊形,則它的頂點仍然會保持均勻。他們可以透過將立方體或八面體先截去所有的稜再截去所有的頂點而成,因此所得的多面體會有6個正方形面和12矩形面。他們具有八面體對稱並可以形成立方體和八面體之間的連續變形系列,類似於小斜方截半二十面體的變形或由四面體扭曲成的截半立方體。然而,小斜方截半立方體還具有另外的一系列不具有八面體對稱而是四面體對稱的變形,因此它們與四面體相同旋轉對稱但不同的反射對稱下是不變的,這些變體包含6個長方形面以及16個梯形面。若沿著三階魔術方塊的可轉動邊緣投射到球體,則會的到一個與小斜方截半立方體類似的拓撲結構,小斜方截半立方體邊緣的線條與該種圖形完全相同。事實上,有一些魔術方塊的變體就是小斜方截半立方體[1]

小斜方截半立方體能夠成三種空間均勻堆砌,但不能獨立完成堆砌,都要跟其他立體圖行一同完成堆砌。這三種空間均勻堆砌分別為:截棱立方體堆砌截面斜截立方體堆砌以及截面立方體堆砌

拆解编辑

小斜方截半立方體可以被切割成上下兩個正四角帳塔和中間一個正八角柱。若將上下兩個正四角帳塔的其中一個水平旋轉45度的話,則會形成偽小斜方截半立方體,即異相雙四角台塔柱,它與小斜方截半立方體擁有相同的頂點布局:3.4.4.4。

小斜方截半立方體可以看作有三對互相平行的八邊形切面,因此上述的切割方式可以從三種不同的方式進行。其切割出來的正四角帳塔是一種詹森多面體。若將其切割出來的圖形,其中一個正四角帳塔水平旋轉45度之後重新組合則會形成一個看起來與小斜方截半立方體十分相近的不同立體,稱為異相雙四角台塔柱或偽小斜方截半立方體,其也是詹森多面體的一種。若將中間的正八角柱拿掉的話,小斜方截半立方體會變成同相雙四角台塔,而偽小斜方截半立方體會變成異相雙四角台塔,這兩個多面體也是詹森多面體。而這些屬於「異相」的多面體都是四角反棱柱的對稱性。

   
小斜方截半立方體
 
偽小斜方截半立方體

作法编辑

将一个立方体正八面体)十二条棱都切一刀,在八(六)个顶点处也切一刀,就可以得到一个小斜方截半立方体。該動作會先得到一個倒角立方體,然後再顶点处也切一刀後即得到小斜方截半立方體。

正交投影编辑

小斜方截半立方體的正交投影
建立於 頂點 三角形-四邊形
交棱
四邊形-四邊形
交棱
正方形面 正三角形面
圖像            
投影對稱性 [2] [2] [2] [2] [4] [6]
對偶的正交投影            

球面鑲嵌编辑

   
(6) 以正方形為中心
 
(6) 另一種以正方形為中心
 
(8) 以正三角形為中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

黃鐵礦形對稱群编辑

 
均勻的形狀
     
 
不均勻的形狀
 
不均勻的形狀
 
到在極限情況下會
變成一個二十面體
扭稜八面體:      ,
從兩個位置之一。
 
二複合二十面體
從兩個交替位置。

頂點排佈编辑

共有三種多面體與小斜方截半立方體有著相同的頂點排佈。他們分別為:

 
小斜方截半立方體
 
小立方立方八面體
 
小斜方六面体英语Small rhombihexahedron
 
星形截角立方体

应用编辑

由於小斜方截半立方體的形狀僅由正方形跟正三角形構成,且十分接近球體,繪製或製作都相對簡單,因此常出現在各種領域中,如藝術。

煤精印编辑

煤精印外表是一個小斜方截半立方體,在正方形面18個,三角形面8個中,其中有14個正方形面上鐫刻有印文[2],小斜方截半立方體擁有26個面,也導致了該印章是目前已發現的中國古代多面印章中印面印章[3]。小斜方截半立方體一共有18個正方形面,其中14個正方形面上印有“臣信上疏”、“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信启事”、“大司马印”、“大都督印”、“刺史之印”、“柱国之印”、“耶勅”、“信启事”、“信白笺”、“密”、“令”、“独孤信白书”且皆为阴文楷书,它的发现证明早在南北朝时期,古人已经开始在印章中使用楷书,纠正了原先学界关于楷书入印最早为隋唐时期的观点。[4][3]

藝術编辑

 
小斜方截半立方體出現在1495年盧卡·帕西奧利的肖像畫作中[5]
 
達文西帕西奧利神曲的設計 , 1509: "Vigintisexbasium Planum Vacuum".[6]

較大的小斜方截半立方體出現在1495年盧卡·帕西奧利的肖像畫作中(傳統上對此畫作者有爭議,認為是雅各布·德巴爾巴里)。該畫作左上角有一個裝半滿水的小斜方截半立方體形狀的玻璃容器。首個有小斜方截半立方體的藝術畫作則是出現在達芬奇1509年的帕西奧利神曲

雖然球形180×360°的全景可以投影到任何多面體,但小斜方截半立方體是一個更簡單更且十分近似球體的形狀,這種類型的投影,稱為斐洛球(英語:Philosphere),可用於全景圖合成成軟體中。部分能做成實體的全景圖合成成軟體是利用由單獨列印的兩個可利用剪刀剪下有留下黏貼處的圖像,即把全景圖製成小斜方截半立方體的展開圖,來做成斐洛球[7]

遊戲與玩具编辑

 
一個Cabela's英语Cabela's研發的能「自我修復」的防彈材料

遊戲《自由空間》中的關卡〈鑽井機〉和〈黑暗之地〉遊戲中的地圖形狀是一個小斜方截半立方體。

超级马里奥银河的〈慌張銀河〉關卡中也有一個小斜方截半立方體形狀的行星。

 
魔棍解成球形的樣子,外觀類似小斜方截半立方體

《音速小子3》的Icecap Zone關卡也有以小斜方截半立方體為特色的柱子。

此外,由於三階魔術方塊的切割處(可旋轉的面)與小斜方截半立方體的邊緣同構,或者說,將小斜方截半立方體的邊緣投影至球體與三階魔術方塊的切割處投影至球體完全一致,因此外型為小斜方截半立方體形式的魔術方塊可以是一種三階魔術方塊的變體。

魔術方塊在1980年代流行期間,twisty puzzle曾經發售過小斜方截半立方體形式的魔術方塊

魔術方塊的變體魔棍玩具在販售時通常會將其轉成小斜方截半立方體的形狀出售,12個方塊被替換成1:√2的矩形。

Cabela's英语Cabela's研發的能「自我修復」的防彈材料如右圖,其示範的模形形狀與小斜方截半立方體十分接近。

相關多面體及鑲嵌编辑

對稱性英语List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英语Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英语Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英语pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    or    
      =
    or    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
             
 
對偶多面體
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                       

參見编辑

註釋编辑

參考文獻编辑

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  3. Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. May 13, 1954, 246 (916): 401–450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  4. de Graaf, J.; van Roij, R.; Dijkstra, M., Dense Regular Packings of Irregular Nonconvex Particles, Phys. Rev. Lett., 2011, 107: 155501, Bibcode:2011PhRvL.107o5501D, arXiv:1107.0603, doi:10.1103/PhysRevLett.107.155501 
  5. Betke, U.; Henk, M., Densest Lattice Packings of 3-Polytopes, Comput. Geom., 2000, 16: 157, doi:10.1016/S0925-7721(00)00007-9 
  6. Torquato, S.; Jiao, Y., Dense packings of the Platonic and Archimedean solids, Nature, 2009, 460: 876, Bibcode:2009Natur.460..876T, PMID 19675649, arXiv:0908.4107, doi:10.1038/nature08239 
  7. Hales, Thomas C., A proof of the Kepler conjecture, Annals of Mathematics, 2005, 162: 1065, doi:10.4007/annals.2005.162.1065 
  1. ^ Soviet Puzzle Ball. TwistyPuzzles.com. [23 December 2015]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  2. ^ 国宝档案2009年第309期——煤精印(上). 央视网. [2016-03-05]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  3. ^ 3.0 3.1 国宝档案2009年第310期——煤精印(下). 央视网. [2016-03-05]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  4. ^ “天下第一岳父”煤精印. 内蒙古日报. 2011-11-01. [永久失效連結]
  5. ^ THE ENIGMA OF LUCA PACIOLI'S PORTRAIT. RitrattoPacioli.it. [2016-02-13]. (原始内容存档于2016-01-29). 
  6. ^ Da divina proportione, 第XXXVI页
  7. ^ 3-D panorama printing: enter physical reality.... philohome.com. [2016-03-10]. (原始内容存档于2016-03-13). 

外部連結编辑