截角八面體

幾何學中,截角八面體[1]是一種具有十四個面的半正多面體,屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由6個正方形和8個正六邊形組成,共有1436以及24頂點[2]。因為每個面皆具點對稱性質,因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時,因為它具有正方形和六邊形面,因此也是一種戈德堡多面體,其戈德堡符號為GIV(1,1)。另外,由於截角八面體也是一種排列多面體英语permutohedron[3][4],因此可以獨立填滿整個三維空間[5],而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌[6]

截角八面體
截角八面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體四角化六面體
識別
名稱截角八面體
參考索引U08, C20, W7
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
toe在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDW dot.pngCDW 4.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.png
CDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施萊夫利符號t0,1{3,4}
t0,1,2{3,3}
t{3,4}
tr{3,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
2 4 | 3
3 3 2 |
康威表示法tO
性質
14
36
頂點24
歐拉特徵數F=14, E=36, V=24 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正方形
正六邊形
面的佈局
英语Face configuration
6個{4}
8個{6}
頂點圖4.6.6
對稱性
對稱群Oh
and Th
特性
環帶多面體
permutohedron
圖像
立體圖 Truncated octahedron vertfig.png
4.6.6
頂點圖
Tetrakishexahedron.jpg
四角化六面體
(對偶多面體)
Truncated octahedron flat.png
(展開圖)

截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長,則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成個單位長。

性質编辑

截角八面體僅具有點可遞性質,也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的,都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質,因為截角八面體有兩種面,四邊形和六邊形,邊也不可遞,因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種,截角八面體共有兩種稜,一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。

由於截角八面體僅具有點可遞性質,因此只能算是均勻多面體[7]中的半正多面體,不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一,因此截角八面體也是一種阿基米德立體[8]

結構编辑

     

截角八面體可以從邊長3a的正八面體切去六個底邊長為a的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長,因此其側面皆為正三角形,底邊長為a、底面積為a2,這些四角錐是正四角錐,是第一種詹森多面體,J1

這些被截下來的正四角錐其高h與斜高s為:

 
 

這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體

 [9]

座標编辑

   
在(±2,±2,±2)範圍內的平行投影 每個六邊形面切割成六個正三角形產生了八個新的頂點,他們分別為(±1,±1,±1)的所有組合。

邊長為2的平方根幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為(0, ±1, ±2)的所有排列。

體積與表面積编辑

截角立方體的體積 ,表面積 ,其中 是該截半立方體的邊長[2]

表面積 =   
體積 =   

作法编辑

正八面體進行截角操作,也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個截角八面體

正交投影编辑

截角八面體的正交投影
建立於 頂點
4-6

6-6

正方形

正六邊形
截角八面體          
四角化六面體          
投影
對稱性
[2] [2] [2] [4] [6]

球面鑲嵌编辑

   
正方形面為中心
 
正六邊形面為中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

分割编辑

截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成8三角帳塔,剩餘的部分在分割成6個正四角錐[10]

虧格 2 虧格 3
D3d, [2+,6], (2*3), order 12 Td, [3,3], (*332), order 24
   

排列多面體编辑

截角八面體是一種排列多面體英语permutohedron[3][4],可以以更「對稱」的形式表示:四維空間中,(1,2,3,4)所有排列的坐標在三維子空間 組成截角八面體。(對應的二維形狀是正六邊形:三維空間中,(1,2,3)所有排列的坐標在二維子空間 組成正六邊形。)

 

相關多面體及鑲嵌编辑

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

堆砌编辑

 
截角八面體可獨立密鋪三維空間。
截角八面體堆砌

截角八面體可以獨立填滿整個三維空間,而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌

截角八面體堆砌三維空間內28個半正密鋪之一,由截角八面體獨立堆積而成,雖然他每個都全等、每皆等長,但其不能稱為正密鋪,因為雖然她只由一種胞,截角八面體組成,但是該胞不是正多面體,因此並非所有“面”皆全等,因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。

其他堆砌
截角八面體堆砌 小斜方截半正方體堆砌 截角交錯立方體堆砌
     

多胞體编辑

過截角超方形
                  ...
過截角立方體 過截角超立方體 過截角五維超立方體 過截角六維超立方體英语Bitruncated 6-cube 過截角七維超立方體英语Bitruncated 7-cube 過截角八維超立方體英语Bitruncated 8-cube
                                                                 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. (英语) 
  3. ^ 3.0 3.1 莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學. 2010-07-03 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-01-30). 
  4. ^ 4.0 4.1 Cayley graph of S4. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).
  5. ^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-01-14).  外部链接存在于|publisher= (帮助)
  6. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  7. ^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-09-11). 
  8. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  9. ^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-08-22).  外部链接存在于|publisher= (帮助)
  10. ^ Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-02-04). 
  • Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025. 
  • Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7. 
  • Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

外部連結编辑