局部緊

每點都有緊鄰域的拓撲空間
(重定向自局部紧致空间

拓撲學數學的相近分支中,局部緊拓撲空間的每小塊,單獨看來,都很類似緊空間的一小塊。準確而言,其每點周圍都有一個緊鄰域

數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間,常以「局部緊豪斯多夫」(英語:Locally Compact Hausdorff)的首字母簡稱為LCH空間。[1]:131

嚴格定義编辑

 拓撲空間。通常稱 局部緊的意思是, 的每點 ,都有緊鄰域,即開集 和緊集 ,令 

也有其他常見定義。下列定義在 豪斯多夫(預正則空間亦然)時皆等價,但一般則不一定:

1.  的每點皆有緊鄰域
2.  的每點皆有的緊鄰域;
2′.  的每點皆有相對緊英语relatively compact鄰域;
2″.  的每點皆有相對緊英语relatively compact鄰域組成的局部基
3.  的每點皆有緊鄰域組成的局部基
3′. 對 的每點  的每個鄰域都包含其一個緊鄰域;
4.  豪斯多夫,且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有:

  • 條件2、2′、2″等價;
  • 條件3、3′等價;
  • 條件2、3互不推出對方;
  • 全部皆推出條件1;
  • 緊空間必定滿足條件1、2,條件3則不必。

條件1或較常用作定義,因為最易滿足,且當 豪斯多夫時,全部條件皆與條件1等價。要證明等價,用到兩個性質:其一,豪斯多夫空間的緊子集必為閉;其二,緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義,滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊,而與局部緊空間區分。[2][3]斯蒂恩(Steen)及澤巴赫(Seebach)[4]:20稱條件2、2′、2″為強局部緊,而稱條件1為局部緊

採用條件4的例子有布爾巴基[5]。應用中,局部緊空間通常的確豪斯多夫,從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫(LCH)空間。

例子與反例编辑

緊豪斯多夫空間编辑

緊豪斯多夫空間必然局部緊,此種例子見於條目緊空間,略舉三例如下:

局部緊但不緊的豪斯多夫空間编辑

非局部緊的豪斯多夫空間编辑

若豪斯多夫空間為局部緊,則必為吉洪諾夫空間,詳見下節。條目吉洪諾夫空間中,可以找到若干例子,是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫,故必不局部緊。

此外,也有吉洪諾夫空間非局部緊,例如:

  • 有理數空間 (配備 的子空間拓撲),因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數,而不在 中,從而不是緊鄰域。
  •  的子空間 ,因為原點並無緊鄰域。
  • 實數集 下限拓撲(上限拓撲亦同),適用於研究單邊極限英语one-sided limit
  • 任何無窮維拓撲向量空間,但要柯爾莫果洛夫(T0,從而豪斯多夫),例如無窮維的希爾伯特空間

首兩個例子說明,局部緊空間的子集不必局部緊,與前節開(或閉)子集的情況相對。末一個例子,則與前節歐氏空間的情況相對;具體言之,豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊,當且僅當其為有限維(等同歐氏空間)。此例亦與希爾伯特立方英语Hilbert cube作為緊空間的情況相對,但並無矛盾,因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

非豪斯多夫的局部緊空間编辑

性質编辑

局部緊的預正則空間英语preregular space必為吉洪諾夫空間(完全正則)。由此推論,局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」(通常稍弱)或「完全正則」(通常稍強)更常用,文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理,局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間

局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間英语Baire space。換言之,貝爾綱定理適用於此類空間:取任意可數多無處稠密集,其並集內部必為空集

局部緊豪斯多夫空間 拓撲子空間 也是局部緊,當且僅當  某兩個閉子集。由此推論,局部緊豪斯多夫空間 的子空間 為局部緊當且僅當 開子集。若將 放寬成任意豪斯多夫空間,則由子空間 局部緊,仍能推出  某兩個閉子集之差,反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之,緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言,局部均勻收斂英语local uniform convergence緊收斂等價。

無窮遠點编辑

 為局部緊豪斯多夫空間,則 作為吉洪諾夫空間,固然能藉斯通-切赫緊化嵌入到緊豪斯多夫空間 ,但有了局部緊的特殊性質,則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間,稱為單點緊化英语one-point compactification。新空間 僅比 多一點。(單點緊化適用於其他空間,但所得的 為豪斯多夫,當且僅當 本身是局部緊且豪斯多夫。)所以,局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集

 多出的一點可直觀視為無窮遠點,此點不在 的任何緊子集中。因此,所謂趨向無窮之事,有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。 舉例,定義 上的連續實值英语real-valued function複值函數英语complex-valued function 稱為消失於無窮遠,是指給定任意正實數  皆有緊子集 ,使  的一切點 成立。前述定義適用於任意拓撲空間 ,而在 為局部緊豪斯多夫的特例,等價於 能延拓成單點緊化 上的連續函數 ,使 

消失於無窮遠的連續複值函數之集合 C*代數。反之,可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間  ,其中 同胚意義下唯一。以範疇言之,局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶英语Duality (category theory),其證法用到蓋爾范德表示英语Gelfand representation[7]。前一範疇中, 加入無窮遠點,變成 之事,在後一範疇對應向 添加單位元

局部緊群编辑

拓撲群論中,局部緊是重要概念,因為每個豪斯多夫局部緊群英语locally compact group 都自然配備哈爾測度,因而在 上定義可測函數積分實數軸 勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群英语Topological abelian group 龐特里亞金對偶為局部緊,當且僅當 是局部緊。又以範疇言之,龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶英语Duality (category theory)。研究局部緊交換群,為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Folland, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications [實分析:現代技巧及應用] 2nd. John Wiley & Sons. 1999 [2021-08-21]. ISBN 978-0-471-31716-6. (原始内容存档于2021-05-07) (英语). 
  2. ^ Lowen-Colebunders, Eva. On the convergence of closed and compact sets [論閉集及緊集的收斂] (英语). 
  3. ^ Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław. Wallman Duality for Semilattice Subbases [半格準基的沃爾曼對偶]. 2020. arXiv:2002.05943  [math.GN]. 
  4. ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexamples in Topology [拓撲學的反例] Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446. 
  5. ^ Bourbaki, Nicolas. General Topology, Part I [一般拓撲學,第一部] reprint of the 1966. Berlin: Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-19374-X. 
  6. ^ Hjalmar Ekdal Topology [亞爾馬·埃克達爾拓撲]. π-base. [2021-08-21]. (原始内容存档于2021-08-21) (英语). 
  7. ^ nLab蓋爾范德表示條目