謝爾賓斯基空間

在數學上,謝爾賓斯基空間(Sierpiński space,又稱兩點連通空間(connected two-point set))是一個包含兩個元素的有限拓樸空間,其中只有一個元素是閉合的。[1]這個空間是所有非密着且非离散的拓樸空間中最小的,而這空間以瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中,是開集分類空間(classifying space)之故,因此這集合在可计算性理论語意處理上有重要的應用。[2][3]

定義及基本性質编辑

謝爾賓斯基空間 是一個其點集合為 的拓樸空間,其所有的開集如下:

 

其所有的閉集如下:

 

也就是說,其單點集 是閉集,而其單點集 是開集,另外此處的 代表空集合。

此空間的閉包如下:

 

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化预序唯一定義,當中,這预序是一個偏序,其形式如下:

 

拓樸性質编辑

謝爾賓斯基空間 特定點拓樸(particular point topology)(謝爾賓斯基空間的特定點為1)和排除點拓樸(excluded point topology)(謝爾賓斯基空間的排除點為0)的一個特殊例子,因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

分離性编辑

  • 在謝爾賓斯基空間中,0和1這兩點是拓撲可區分的,這是因為 是一個只包含這兩者其中一點的開集之故,因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間 空間)。
  • 然而謝爾賓斯基空間不是一個 空間,這是因為 這個單點集不是閉集之故,也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間 空間(其中 )。
  • 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間完全正则空间,這是因為1這個點及其不相交集合 不能以鄰域分離之故(另外點能以鄰域分離 空間是豪斯多夫空間)。
  • 然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间,這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。
  • 然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间,這是因為其彼此不相交的閉合  無法由函数完全分离所致。事實上,謝爾賓斯基空間的 不能是任何連續函數 的零集(zero set),而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

連通性编辑

  • 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間(Hyperconnected space)(這是因為其所有的非空開集都包含1所致)和特連通空間(Ultraconnected space)(這是因為其所有的非空閉集都包含0所致)。
  • 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。
  • 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路 可定義如次: 且對於所有的 而言 ,這個函數是連續的,因為  是開集。
  • 和所有的有限拓樸空間一樣,謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
  • 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間(contractible space),因此其基本群是個當然群(這點對高階同倫群(higher homotopy groups)也成立)。

緊緻性编辑

  • 和所有有限拓樸空間一樣,謝爾賓斯基空間是個緊緻空間第二可數空間
  • 謝爾賓斯基空間的緊子集 不是閉集,而這顯示了 空間的緊集不必然是閉集。
  • 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身,這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故,因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋,就是 
  • 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間(fully normal space,仿紧空间的一個子類)。[4]

收斂性编辑

  • 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0,這是因為在謝爾賓斯基空間當中,0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
  • 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1,當且僅當該序列僅有有限多項為0。
  • 在謝爾賓斯基空間當中,1是某序列的一個聚集点,當且僅當該序列包含無限多項的1。
  • 例子如下:
    • 1不是 這序列的聚集点。
    • 1是 這序列的聚集点1,但並非極限點。
    •  這序列同時收斂至0和1。

度量化可能性编辑

  • 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間,甚至也不是可偽度量化的空間,這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间,而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。
  • 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成,其中  

其他性質编辑

  • 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數:恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
  • 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群(英语:homeomorphism group)是當然群

映至謝爾賓斯基空間的連續函數编辑

 是一個任意集合,那麼一般會將所有從 映至 的函數的集合給記做 ,這些函數即是 指示函数,所有的指示函数都有如下的形式:

 

在其中  的一個子集。換句話說 這個函數的集合和 幂集 間,有著雙射的關係。每個 的子集 都有自己的指示函数 ,而每個從 映至 的函數都有如此的形式。

現在假定 是個拓樸空間,而 有著謝爾賓斯基拓樸,那麼 是個連續函數,當且僅當  中是個開集;然而根據定義,我們有

 

因此 是個連續函數,當且僅當  中是個開集。

假定 是所有從 映至 的連續函數的集合,並假定  的拓樸(也就是所有開集的集族),那麼就存在一個從 映至 的雙射,這映射會將 映至 之上。

 

也就是說,假若將  對等,那麼其連續映射的子集 會是 的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合斯科特拓樸中,謝爾賓斯基空間會在指示函数保持定向连接(directed join)的狀況下,成為其開集分類空間[5]

范畴论的描述编辑

上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇集合范畴的反變函子 將每個拓樸空間 給指派給其開集的集合 ,並將每個連續函數 給指派給其原像

 

而相關敘述如下: 這個函子由 表示,其中 為謝爾賓斯基空間,也就是說, 和同態函子(Hom functor) 間有著自然同構,而這自然同構由泛元素 決定,而這可由预层的概念一般化。[6]

初拓扑编辑

任何的拓樸空間 都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族 所引致的初拓扑。事實上,若要將 的拓樸變得更加粗糙,那就必須將一些開集給移除;然而若將開集 給移除,那麼 這個函數就會變得不連續,因此在 當中的每個函數都連續的情況下, 有著最粗糙的拓樸。

函數的集族 區分 上的點,當且僅當 是個 空間。  這兩點可由指示函数 區分,當且僅當開集 包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是  拓樸可區分的確實含意。

也就是說,若 是個 空間,那就可以將 給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中,在其中對於每個 的開集 而言,都有一個 的複本與之對應。其嵌入函數

 

可由下列函數得出:

 

由於 空間的子空間和积空间還是 空間之故,因此一個拓樸空間是 空間,當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚

在代數幾何中编辑

在代數幾何中,謝爾賓斯基空間會作為 整數在質數 生成的素理想上的局部化)之類的離散賦值環(Discrete valuation ring)  出現。其中 起自零理想一般點(generic point)會對應至開集點1;而 起自極大理想特殊點(special point)會對應至閉集點0。

參見编辑

註解编辑

  1. ^ nLabSierpinski space條目
  2. ^ 一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上,詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics页面存档备份,存于互联网档案馆)》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective页面存档备份,存于互联网档案馆)》,其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理论的文章。
  3. ^ Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004. 
  4. ^ Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間(或以其術語來說,不是滿 空間)。
  5. ^ nLabScott topology條目
  6. ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

參考编辑