巴拿赫-阿勞格魯定理

賦範向量空間的對偶中,閉單位球是弱*拓撲的緊集

泛函分析和鄰近數學分支中,巴拿赫-阿勞格魯定理阿勞格魯定理(英語:Banach–Alaoglu theoremAlaoglu's theorem)斷言,任意賦範向量空間連續對偶空間中,單位球弱*拓撲中為[1]常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之閉子集。根據吉洪诺夫定理,該些緊集的積拓撲空間仍為緊,故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子,而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下,定理可以推出,每個量子態皆是純態凸線性組合

歷史

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納里奇(Narici)與貝肯斯坦(Beckenstein)書中,稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一(the)最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」[2]1912年,赫利(Helly)證明,閉區間上連續函數的空間 ,其連續對偶空間的單位球,為弱*可數緊英语countably compact[3]1932年,斯特凡·巴拿赫證明,任何可分賦範向量空間的連續對偶中,閉單位球必為弱*序列緊(他僅考慮了序列紧)。[3] 一般情況的證明,是由列奧尼達·阿勞格魯英语Leonidas Alaoglu於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中,引述Pietsch [2007]指,至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。[2]

布爾巴基-阿勞格魯定理(英語:Bourbaki–Alaoglu theorem)是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣[4][5]局部凸空間英语locally convex space對偶拓撲英语dual topology的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理弱*緊定理(英語:weak-* compactness theorem),也常簡稱為阿勞格魯定理(英語:Alaoglu theorem)。[2]

敍述

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一般敍述

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對於 上的向量空間 ,以 表示其代數對偶(所有線性泛函組成的空間)。兩者由雙線性求值映射 所聯繫,該映射由

 

定義。所以,三元組 (兩個空間及一個映射)組成對偶系英语dual system,稱為典範對偶系

 進一步具有拓撲,即為拓撲向量空間(TVS),則可分辨其上的函數連續與否,並定義其連續對偶 為代數對偶 中,連續泛函組成的子集。以 表示 上的弱*拓撲。類似有  上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲,因為給定映射 和一映射 ,網 在弱*拓撲中收斂至 ,當且僅當對定義域中每點 ,函數值組成的網 收斂到 

阿勞格魯定理[3]

 為任意拓撲向量空間(無需豪斯多夫局部凸英语locally convex), 為其連續對偶,則對於 中原點的任何鄰域  ),其極集英语Polar set

 

 上的弱*拓撲英语weak topology[註 1] 中,必為緊集。

此外, 亦是 相對於典範對偶系 的極集,在拓撲空間 同樣為緊。

賦範特例

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 賦範向量空間,則原點鄰域的極集,在對偶空間中為閉,且其範數有上界。特別地,若  的開(或閉)單位球,則 的極集為連續對偶空間 的閉單位球(對偶空間配備平常的對偶範數)。此時,定理化為以下特例:

巴拿赫-阿勞格魯定理

 為賦範空間,則連續對偶空間 中,算子範數的閉單位球,為弱*拓撲中的緊集。

 的連續對偶 是無窮維賦範空間時, 中的閉單位球,不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是,範數拓撲的閉單位球為緊,當且僅當空間為有限維(見F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。此定理顯示出,在同一個向量空間上,考慮不同的拓撲,到㡳有何用。

但注意,巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊,因為僅知閉單位球在強拓撲英语strong topology中為原點的鄰域,在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中,單位球的內部可能為空,除非空間為有限維。實際上,韋伊證明,局部緊豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明

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對偶理論證明

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 的基域為 ,此處為實數域 複數域 。證明會用到極集英语polar set對偶系英语dual system连续线性算子的基本性質,可參見該些條目,以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶 配備弱*拓撲 時,為一個豪斯多夫局部凸英语Locally convex topological vector space拓撲向量空間,記為 。空間 總是完備英语Complete topological vector space,但連續對偶 則不一定,此即證明需牽涉 的原因。具體而言,本證明用到的性質是:完備豪斯多夫空間的子集為緊,當且僅當其為閉,且完全有界英语Totally bounded space。注意  繼承的子空間拓撲,等於弱*拓撲 。為驗證此事,只需檢查對每個  中的在其中一個拓撲中收斂到 ,當且僅當在另一個拓撲中亦然(因為兩個拓撲結構相等,當且僅當其具有的收斂網完全一樣)。

三元組 也是對偶對英语dual system(有雙線性映射 ),但與 不同,前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時,會註明是對於何種對偶而言。

  原點的鄰域,又設:

  •   相對 的極集;
  •   相對 二重極集英语Polar set
  •   相對 的極集。

極集的基本性質有 

下證巴拿赫-阿勞格魯定理,分若干步:

  1. 先證 在拓撲 中為 的閉子集:設 ,又假設  中的網,在 中收斂到 。欲證 ,即 對任意 皆成立。因為在純量域 中, ,而每個值 皆屬於( 的)閉子集 ,故網的極限 亦必在該子集中。於是 
  2. 其次,欲證 ,以推出 既是 的閉子集,亦是 的閉子集:有包含關係 ,因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之,欲證 ,設 滿足 ,換言之線性泛函 在鄰域 上有界,而泛函有界等價於連續,故 ,從而 ,即所求證。用第1步,結合交集  的子空間拓撲中為閉,推得 為閉。
  3. 欲證   拓撲而言是完全有界英语Totally bounded space子集:由二重極集定理英语bipolar theorem ,又因為鄰域  中的吸收集 亦同。可以證明,此結論推出   而言的有界子集英语Bounded set (topological vector space)。由於 分辨英语dual system 各點, 的子集在 意義下有界,當且僅當在同樣意義下完全有界英语Totally bounded space。所以,尤其有  意義下完全有界。
  4. 欲證 亦為  拓撲下的完全有界子集:已知 上, 拓撲等於  繼承的子空間拓撲,結合第3步與「完全有界」的定義,即推出   拓撲下的完全有界子集。
  5. 最後,欲證   拓撲下的緊子集:因為 完備拓撲向量空間英语Complete topological vector space,又 為其閉(第2步)而完全有界(第4步)的子集,所以 為緊。定理證畢

較初等的證明

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以下證明,僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面,需要熟悉使用拓扑空间中的積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯(為方便起見,證明中也會給出部分細節)。同時也要瞭解,線性泛函為連續,當且僅當其在原點的某個鄰域上有界(見次線性泛函英语sublinear functional)。

設向量空間 的基域為 ,為實數系 複數系 兩者之一。對任意實數 ,以

 

表示以原點為球心,半徑為 的閉球。在 中,此為緊的闭集

極集的等價表示

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由於  中原點的鄰域,可知 亦是 吸收集,即對每個 ,皆有正實數 使 。以

 

表示 相對典範對偶系 的極集。將證明,此極集 ,與定理提到, 相對 的極集 ,兩者相等。

 成立,是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之,欲證 ,設 滿足 ,即線性泛函 在鄰域 有界。所以 连续线性算子(換言之 ),從而有 ,即所求證。

至此,已證明 [註 2],餘下的證明中,需理解笛卡儿积 與所有 的映射構成的空間 等同。仍需證明以下兩個命題:

  1.   的閉子集。
    • 此處 配備的是逐點收斂拓撲,等同於積拓撲
  2.  
    • 其中 表示以原點 為球心, 為半徑的閉球。本證明開始時,對每個 , 已定義 為使 的任意一個實數 。特別地,對於 ,可以選 

以上命題推出,  的閉子集,而由吉洪诺夫定理,該积空间為緊[註 3](因為每個閉球 皆為緊)。因為緊空間的閉子集仍為緊,所以有 為緊集,從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉

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以下證明前述命題1。代數對偶 總是積空間  的閉子集[註 4]。要證明  中為閉,祇需證明集合

 

 的閉子集,因為若有此結論,則  中兩閉集之交,故亦為閉集。

 ,又設  中的網,在 中收斂到 。需要證明 。換言之,要證對每個  (或等價寫成 )。由於在純量域 中, ,且每項 皆屬於 中的閉子集 ,此網的極限 亦必屬於該閉集,即 。證畢命題1。

上述證明可以推廣,以論證以下命題:

 為任意集合, 為拓撲空間 閉子集,則在 的逐點收斂拓撲中, 為閉子集。

命題1為其特殊情況,取  便得。

極集包含於緊空間之積

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以下證明前述命題2。對任意 ,以 表示到第 個坐標的投影英语Projection (set theory)。欲證 。換言之,欲對每個 ,證明 

於是選定 ,設 ;要證 。由 的定義, ,故 。因為 ,線性泛函 滿足 ,所以由 ,可知

 

所以 ,即 ,證畢命題2。

序列版本

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巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況,對可分空间使用,並將「」換成「序列緊」。此時定理斷言:

可分賦範向量空間的對偶中,閉單位球在弱*拓撲下是序列紧

可度量

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實際上,可分空間的對偶的閉單位球上,弱*拓撲可度量,故緊與序列緊等價。

明確而言,設 為可分賦範向量空間,而 為連續對偶 中的閉單位球。根據 可分的定義,有某個可數稠密子集,列舉為 。則下式定義一個度量:對於 

 

其中 表示  的對偶匹配,即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下, 為序列緊之事,用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法,即可證明。

由於證明本質為構造性(而非如一般情況,用到非構造性的選擇公理),在偏微分方程學中,有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理,構造偏微分方程或變分問題的解。舉例,若有某個可分賦範空間 ,其對偶上有泛函 ,欲求最小值,則常見策略是先構造序列 ,使 的泛函值趨向下確界,然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理,取出子序列 ,在弱*拓撲下收斂到極限 ,並確定 使 取最小值。最後一步通常要求 在弱*拓撲下為(序列)下半連續

考慮另一個例子,設 為實軸上,在無窮遠處消失的連續函數組成的空間,則由里斯-馬可夫表示定理 為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理英语Helly selection theorem

證明

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下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個 ,設

 

以及

 

因為 是複平面的緊子集, 積拓撲中亦為緊(根據吉洪诺夫定理)。

 中的閉單位球 ,可以自然地看成 的子空間:考慮映射

 

其為單射,且對於 的弱*拓撲和 的積拓撲而言,是連續映射。在像集上,映射的逆也連續。

欲完成定理的證明,只需證明映射的像為閉集。給定網 中的網

 

等式 定義的泛函 ,也在 中。定理證畢。

推論

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賦範空間

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假設 賦範空間,則其連續對偶空間 具有对偶范数

  •  中的閉單位球為弱*緊[3]。相比之下,若 為無窮維,則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊(F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。
  • 巴拿赫空间自反,當且僅當其閉單位球在弱拓撲 下為緊。[3]
  •  自反巴拿赫空間,則 中每個有界序列,都有弱收斂子列。(此為對 某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言,是應用埃伯萊恩-什穆良定理英语Eberlein–Šmulian theorem。)舉例,設 Lp空間 ,其中 。設  中函數組成的有界序列。則存在子列 ,且有 使得
     
    對於 中的任意函數 成立,其中 。對於 ,沒有相應的結論,因為 不自反。

希爾伯特空間

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  • 任意希爾伯特空間中,閉有界集必然弱相對緊英语Relatively compact subspace,即其在弱拓撲的閉包為弱緊,故每個有界網必有弱收斂子網(希爾伯特空間皆自反)。
  • 哈恩-巴拿赫定理,範數拓撲中的閉凸集,在弱拓撲中也是閉集,故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中,凸有界集的範數閉包必為弱緊。
  •  為希爾伯特空間, 為其上有界算子的空間,則 可以配備以下兩種不同的拓撲:一則超弱拓撲英语ultraweak topology,即 作為跡類算子空間 的對偶所具備的弱*拓撲;二則弱算子拓撲英语weak operator topology,是使形如 的映射皆連續的最弱的拓撲,此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下, 中的閉有界子集,關於弱算子拓撲為相對緊。所以,算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是, 配備弱算子拓撲或超弱拓撲時,滿足海涅-博雷尔性質

與選擇公理的關係

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通常,會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理,所以要依賴於ZFC公理系統,尤其是选择公理。主流泛函分析中,許多結果皆依賴選擇公理。然而,本定理在可分空間的情況(見§ 序列版本)並不依賴選擇公理,該情況下有構造性證明。對於不可分的情況,超濾子引理英语ultrafilter Lemma比選擇公理嚴格弱,但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之,巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理,所以兩者等價。

參見

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  1. ^ 更明確地說,子集 稱為「弱*拓撲中的緊集」,意思是若 配備弱*拓撲,而子集 從空間 繼承子空間拓撲,則 紧空间。將「緊集」換成其他性質(如「完全有界英语totally bounded」)亦同。
  2. ^  表示 原有的拓撲,則等式 說明, 的極集 ,僅取決於  ,其餘拓撲結構 可忽略不理。更明確說,假設  上另一個向量空間拓撲,使得 為拓撲向量空間,且集合  仍為原點的鄰域。記 的連續對偶為 ,並記 相對 的極集為
     
    (此定義下, 祇是舊的 。)則 ,因為兩者分別等於 。換言之,極集 的定義條件中,「 連續對偶空間 子集」一項可以無視,因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而,若  上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on  ,令 不是 原點的鄰域,則 相對 的極集 ,不保證等於 ,所以不能如此無視拓撲 
  3. ^ 由於每個 也是豪斯多夫空间,只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況,便足以說明 為緊。該特殊情況等價於超濾子引理英语ultrafilter lemma,而比选择公理嚴格弱。
  4. ^ 「線性泛函」的要求,可以寫成許多條等式如 合取。每個要求皆是閉條件,即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉,所以線性泛函組成的集合為閉集。

參考資料

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  1. ^ Rudin 1991, Theorem 3.15.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Narici & Beckenstein 2011,第235-240頁.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Narici & Beckenstein 2011,第225-273頁.
  4. ^ Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
  5. ^ Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.