数学中,尤其在范畴论同伦论中,广群(groupoid,或勃兰特广群,Brandt groupoid)是对的概念的抽象化。广群可被视为:

在存在依赖类型的情况下,一般来说,一个范畴可视作是类型化的幺半群;广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族,于是态射可以是类型化的。于是组合是全函数:,于是

广群的特例包括:

广群常用于研究流形几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入,其思想暗含在勃兰特半群的概念中。[2]

定义

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广群指的是代数结构 ,包含非空集G与定义在G上的二元偏函数' '。

代数定义

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广群是具备一元运算 偏函数 的集合G,当中的*不是二元运算,因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件,这些条件因情况而异。

运算*、−1有以下公理性质: 

  1. 结合律:若定义了 ,则 
  2. 逆元  总有定义。
  3. 单位元:若定义了 ,则 。(由前两条性质可推知。)

从中可得到两个简单方便的性质:

  •  
  • 若定义了 ,则 [3]

范畴论定义

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广群是小范畴,其中每个态射都可逆,即是同构[1]更明确地说,广群G是对象集合 ,其中

  • 每对对象xy,都有从xy的态射(或箭头)的(可能是空)集合 ,其中的元素写作 
  • 每个对象x 的指定元素 
  • 对任意三个元素xyz都有函数 
  • 对任意两个元素xy都有函数 
    •   
    •  
    •   

 则称xf,记作 y称作f目标,记作 。广群G有时记作 ,当中 是所有态射的集合,两个箭头 代表源和目标。

更一般地,可以考虑任意范畴中的广群对象,其允许有限的纤维积。

定义比较

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代数定义与范畴论定义等价,下面证明。给定范畴论定义广群,令G为所有集合 不交并(即xy的态射的集合);则  就成了G上的偏运算,而 事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为 −1 ,这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及 (及 )。

反过来,给定代数定义的广群G,用 定义其元素上的等价关系:  ,若 G0 的等价类集合,即 。若  ,用 aa−1

现在定义 为所有使 存在的f的集合。给定 其组合定义为 这是良定义的,因为可观察到  都存在, 也存在。这样,x的恒等态射就是 f的范畴论逆是f−1

上述定义中的集合可用代替,这在范畴论中很常见。

顶点群与轨道

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给定广群G,其中的顶点群迷向群轨道群 的子群。从上述公理不难看出,它们确实是群,因为每对元素都可组合,且逆元都在同一个群中。

广群G在点 处的轨道由集合 给出,当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若xy两点在相同的轨道上,则它们的顶点群G(x)G(y)群同构:若 ,则同构由 给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道(等价地是连通的),则称之为传递的。那么,所有顶点群都同构(另一方面,这不是传递性的充分条件,反例下详)。

子广群与态射

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 子广群子范畴 ,其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴,即 都有  ,则也称其为

广群映射简单说就是两个(范畴论)广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若 都有 ,使得 ,则广群的态射 称作纤维化。若这样的e是唯一的,则纤维化称作覆盖态射广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用,可用来模拟空间的覆盖映射[4] 同样,给点广群B的覆盖态射范畴,等同于广群B对对集合的作用范畴。

例子

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拓扑

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给定拓扑空间X,令 为集合X。从点p到点q的态射是pq连续路径等价类,若两条路径同伦,就称它们等价。 先沿第一条路径,再沿第二条路径,两个这样的态射便组合到一起;同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X基本广群,记作 (有时是 )。[5]通常的基本群 于是就是点x的顶点群。

基本广群 的轨道是X的路径连通成分。相应地,路径连通空间的基本广群是传递的,我们恢复了已知的事实,即任意基点上的基本群是同构的。此外,基本广群和基本群这时作为范畴是等价的(一般理论见下文)。

这一思想的重要推广是考虑基本广群 ,其中 是选定的基点集合。当中  的(宽)子广群,这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

等价关系

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X集合体,即具有等价关系 的集合,则“表示”这等价关系的广群可由如下构成:

  • 广群对象是X的元素;
  •  有单态射 ,当且仅当 
  •   的组合是 

这个广群的顶点群总是平凡的;此外,这个广群一般不传递,其轨道正是等价类。有两个极端例子:

  • X每个元素若都与X的其他元素有联系,则就得到了X对广群,其以整个 作为箭头集,且是传递的。
  • X每个元素若只与自身有关系,就得到了单位广群,其以X为箭头集, ,是完全不传递的(每个单子 都是轨道)。

例子

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  •  光滑流形的光滑满射浸没,则 是等价关系[6],因为在拓扑空间的满射下,Y 商拓扑拓扑同构。若记 则可得广群

     

    有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群
  • 若放宽自反性要求、考虑偏等价关系,则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似,称作PER模型。作为一个范畴,PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴,从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯

切赫广群

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切赫广群[6]:5是一类特殊的广群,与某个流形X的开覆盖 所给出的等价关系相关联。其对象由不交并

 

给出,其箭头是相交

 .

源映射与目标映射由诱导映射给出

 

包含映射

 

则给出了广群的结构。实际上,还可设置

 

n次迭代的纤维积来进一步扩展,其中 表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射,因为

 

是笛卡儿图,其中到 的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型;此外,这种构造的另一个产物是k-上循环

 

对某个阿贝尔群之常数可表为函数

 

给出了上同调类的明确表示。

群作用

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G作用于集合X,则可由如下方式组成代表群作用作用广群变换广群

  • 对象是X的元素;
  •  态射 对应 ,使得 
  • 态射的复合解释了G二元运算

更明确地说,作用广群是小范畴  ,源映射和目标映射分别为  。通常表示为 (对于右作用记为 )。广群中的乘法(或组合)就是 ,定义条件是 

 ,顶点群由  组成,这只是给定作用在x处的迷向子群(这就是顶点群称为迷向子群的原因)。同样,作用广群的轨道是群作用的轨道,广群是传递的当且仅当群作用也有传递性

另一种描述G集合的方法是函子范畴 ,当中 是1个元素的广群(范畴),同构于群G。事实上,这个范畴的每个函子F都定义了集合 (即对 中的每个态射)诱导了双射  。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。(唯一)可表函子F G凯莱表示。事实上,这个函子与 同构,因此将 送到集合 ,后者的定义就是“集合”G 的态射g(即G的元素g)到集合G的置换 。由米田嵌入推导出:群G同构于G置换群子群 

有限集

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考虑 在有限集 上的群作用,其将每个数取负,于是  。商广群 是这个群作用的等价类集合  在其上有群作用 

商簇

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任何映射到 的有限群G都会在仿射空间 上产生群作用(由于这是自同构群)。于是,商广群的形式可以是 ,有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间 及其子空间,如卡拉比-丘轨形

广群的纤维积

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给定具有广群态射的广群图

 

其中  ,可组成广群 ,其对象为三元组 ,其中 。态射可定义为一对态射 ,其中 ,使得对三元组 中有 的交换图。[7]

同调代数

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具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

 

可形成广群。其对象是集合 ,箭头是集合 ;源映射只是到 的映射,目标映射是对 d的组合跟到 的映射的加法。也就是说,给定 ,有

 

当然,若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴,则这种构造可用于形成广群的预层

游戏

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魔方可用群论来建模(见魔方群),也有些游戏更适合用广群建模。[8]

数字推盘游戏的变换就是广群(不是群,因为并非所有移动都能复合)。[9][10][11]这一广群作用作用于构型。

马蒂厄广群

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马蒂厄广群约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群,这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

与群的关系

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类似群的结构
完全性 结合律 单位元 除法
幺半群
半群
环群
拟群
原群
广群
范畴

若广群只有一个对象,则其态射集构成。由代数定义,这样的广群实际上就是群。 [12]群论的许多概念都能推广到广群,用函子概念取代群同态

每个传递/连通的广群(即如上所述,任意两对象都由至少一个态射相连)都与作用广群(如上定义) 同构。根据传递性,这个作用下只有一个轨道

注意刚才提到的同构不唯一,也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象 群同构  态射 

若广群没有传递性,则就同构于上述类型的广群的不交并,也称作其连通成分(每个连通成分可能具有不同的群G与集合X)。

用范畴论的术语来说,广群的每个连通成分都等价(但不同构)于只有1个对象的广群,即单群。因此,任何广群都等价于无关群的多重集;换句话说,对等价(而非同构),我们不需要指定集合X,而只需指定群G。例如,

  • X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合,但同构要指定每个成分的点集;
  • 具有等价关系 的集合X等价(作为广群)于每个等价类平凡群的一个副本,但同构需要说明每个等价类;
  • 具备群G作用的集合X等价(作为广群)于作用的每个轨道的G的一个副本,但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看,把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息,因为是不自然的。因此,当广群以其他结构出现时,保持整个广群是有帮助的;否则就必须选择一种方法,以从单群的角度看待每个 ,而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中,必须连贯地选择路径(或路径的等价类),从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。

一个更有启发性的例子是,有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样:例如,有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此,群G的子群H会产生‘’GGH陪集集的作用,从而产生KG的覆盖态射p,其中K是顶点群与H同构的广群。这样,群G的表示就可以“提升”到广群K的表示,这是获取子群H的表现信息的有用方法。

广群范畴

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对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴,记作Grpd

Grpd与小范畴相似,是笛卡儿闭范畴:对任意广群 ,我们都可以构造广群 ,其对象是态射 、箭头是态射的自然等价。于是,若 只是群,则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是,对任何广群 都有自然双射

 

即使所有广群 都只是群,这个结果也有意义。

Grpd既是完全范畴,又是余完全范畴。

Cat的关系

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包含态射 有左右伴随函子

 
 

当中, 表示反转每个态射的范畴局部化, 表示所有同构的子范畴。

sSet的关系

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神经函子 Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形

神经有左伴随

 

当中 表示单纯集X的基本广群。

Grpd中的广群

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广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构,即双重广群[13][14]因为Grpd是2范畴,这些对象构成了2范畴,比1范畴有额外的结构。本质上说,这些对象是具有函子

 

的广群 ,以及由恒等函子

 

给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如,给定方块

  

其中 是同一个态射,则可以垂直相连,得到图

 

可将垂直箭头转置,得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

具有几何结构的广群

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研究几何对象时,产生的广群通常带有拓扑,使其成为拓扑广群;一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究,这与李群李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如,泊松几何中有辛广群的概念,后者是具有相容辛形式的李广群。同样,也可拥有具备相容黎曼度量复流形等结构的广群。

另见

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脚注

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  1. ^ 1.0 1.1 Dicks & Ventura. The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group. 1996: 6. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Brandt semi-group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ 第一个性质的证明:由公理2、3,可知 将1式代入2式,再应用公理3: 得证。 第二个性质的证明:由于定义了 ,于是是 因此也定义了 。进一步地,由于定义了 ,有 也定义了。由公理3可知 得证。
  4. ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (see chapter 2)
  5. ^ fundamental groupoid in nLab. ncatlab.org. [2017-09-17]. (原始内容存档于2023-04-06). 
  6. ^ 6.0 6.1 Block, Jonathan; Daenzer, Calder. Mukai duality for gerbes with connection. 2009-01-09. arXiv:0803.1529  [math.QA]. 
  7. ^ Localization and Gromov-Witten Invariants (PDF): 9. (原始内容存档 (PDF)于2020-02-12). 
  8. ^ An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction页面存档备份,存于互联网档案馆); Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.
  9. ^ Jim Belk (2008) Puzzles, Groups, and Groupoids页面存档备份,存于互联网档案馆), The Everything Seminar
  10. ^ The 15-puzzle groupoid (1) 互联网档案馆存档,存档日期2015-12-25., Never Ending Books
  11. ^ The 15-puzzle groupoid (2) 互联网档案馆存档,存档日期2015-12-25., Never Ending Books
  12. ^ Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see delooping in nLab. ncatlab.org. [2017-10-31]. (原始内容存档于2023-04-05). .
  13. ^ Cegarra, Antonio M.; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué. Double groupoids and homotopy 2-types. 2010-03-19. arXiv:1003.3820  [math.AT]. 
  14. ^ Ehresmann, Charles. Catégories et structures : extraits. Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle. 1964, 6: 1–31 [2023-11-29]. (原始内容存档于2023-06-04) (英语). 

参考文献

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