草稿:限制 (數學)

功能與域名沒有反函數。如果我們限制到非負實數,那麼它有一個反函數,稱為平方根

數學中,映射限制 是一個新的映射,記作 或者 ,它是通過為原來的映射 選擇一個更小的定義域 來得到的。反過來,也稱映射 是映射 擴張

正式定義

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  是一個集合   到集合   的映射。如果   子集,那麼稱滿足 的映射[1]   是映射    上的限制。不正式地說,   是和   相同的映射,但只定義在   上。

如果將映射   看作一種在笛卡爾積   上的關係   ,然後    上的限制可以用它的圖像來表示:

 

其中   表示圖像   中的有序對

擴張

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映射   稱為另一映射的  擴張,若且唯若   。也就是說同時滿足下面兩個條件:

  1. 屬於   之定義域的   必然也在   的定義域中,即  
  2.    在它們共同的定義域上的行為相同,即 

數學上經常需要將一個具有指定性質的映射的定義域擴大,並要求擴張後的結果仍具有該性質。如尋找一個線性映射   的擴張映射   ,且   仍是線性的,這時說    的一個線性擴張,或者說;尋找一個連續映射   的擴張映射   ,且   仍連續,則稱為進行了連續擴張;諸如此類。

例子

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  1. 非單射函數   在域  上的限制是  ,而這是一個單射。
  2. Γ函數限制在正整數集上,並將變量平移   ,就得到階乘函數:  

限制的性質

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  • 映射   在其整個定義域   上的限制即是原函數,即  
  • 對一個映射在限制兩次與限制一次效果相同,只要最終的定義域一樣。也就是說,若   ,則  
  • 集合   上的恆等映射在集合   上的限制即是   包含映射[2]
  • 連續函數的限制是連續的。[3] [4]

應用

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反函數

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若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射   非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:

   

因為  ,故非單射。但若將定義域限制到   時該映射為單射,此時有反函數

   

(若限制定義域至  ,輸出   的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多値函數,則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

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點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間   的子集   同時為開或閉,且滿足  ,設   為拓撲空間。若映射     的限制都連續,則   也是連續的。

基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。

將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中,拓撲空間 的每個開集 ,有另一個範疇中的物件 與之對應,其中要求 滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若 ,則有態射 ,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:

  1.  的每個開集 ,限制態射  上的恆等態射。
  2. 若有三個開集 ,則複合 
  3. (局部性)若 為某個開集 開覆蓋,且 滿足:對所有  ,則 
  4. (黏合) 若 為某個開集 的開覆蓋,且對每個 ,給定截面 ,使得對任意兩個 ,都有 在定義域重疊部分重合(即 ),則存在截面 使得對所有  

所謂拓撲空間 上的,就是該些物件 和態射 組成的整體 。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層

參考資料

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  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
  2. ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  3. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  4. ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.