二階導數

函數的運算,其導數的導數

微积分中,函數 二階導數(英語:second derivativesecond order derivative)是其导数的導數。粗略而言,某量的二階導數,描述該量的變化率本身是否變化得快。例如,物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度,即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法英语Leibniz notation

二次函数的二階導數是常數

其中 為加速度, 為速度, 為時間, 為位置,而 表示瞬時的差值(又稱「delta」值)。最後一式 是位置 對時間的二階導數。

繪製函数图形時,二階導數描述曲線的曲率凹凸性。若函數的二階導數為正,則其圖像是向上彎,像隻杯()。反之,若其二階導數為負,則向下彎,像頂帽()。

二階導數的冪法則编辑

連續兩次用一階導數的冪法則英语power rule,則會推導出二階導數的冪法則,如下所示:

 

公式對任意實數   成立。

記法编辑

函數   的二階導函數常記為  ,其於   處取值為  [1][2]換言之,

 

其中   表示一階求導。若用萊布尼茲記法英语Leibniz's notation表示導數,則因變數   關於自變數   的二階導數記為

 

此種寫法的理由是,  表示對   求導,從而求導兩次應寫成:

 

其他記法编辑

前段所記,二階導數標準的萊布尼茲記法為  。然而,無法視之為純代數符號作運算。意思是,雖然看似兩個微分相除組成的分數,但是無法拆分、抵銷等。[註 1]不過,可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則[3]倘若視   為兩微分之商,則求導時,根據商法則應有:

 

上式中,  為二階導數,但   則不然。  表示微分算子施用於   的結果,即  ,而   表示微分算子疊代兩次的結果,即  。最後   是先微分再平方,即  

若採此寫法(並依上段解讀各符號含義),則二階導數各項可以自由操作,與其他代數項作運算。例如,二階導數的反函數公式,可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過,運算上的方便,與更換符號的不便,孰輕孰重,仍待定論。[4]

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考慮

 

運用冪法則,  的導數   由下式給出:

 

  的二階導數即是對導數   再次求導的結果,由下式給出:

 

另一個例子,考慮正弦函數  。有

 

而再次求導後,得到

 

換言之,正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係编辑

 
  的圖像,其中   的取值範圍是由   。當曲線向上彎時,切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點(即  )處則為紅。

凹向编辑

函數   的二階導數,描述其圖像凹的方向和程度,即凹性concavity)。[2]若二階導數在某區間恆正,則函數在該區間向上凹(向上彎,又稱為凸函數或下凸函數),意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之,若二階導數在某區間恆負,則函數在該區間向下凹(向下彎,又稱為凹函數或上凸函數),其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

拐點编辑

若函數的二階導數在某點的左右異號,則圖像由向上彎轉變成向下彎,或反之。此種點稱為拐點inflection point)。假設二階導數連續,則在該點處必取零值,故可用「二階導數為零」之條件,篩選出可能的拐點。不過,二階導數為零的點不一定是拐點,如   ,但   在實數系上為凸,無拐點。

二階導數檢驗编辑

二階導數與凹凸性的關係,有助判斷函數  驻点(即滿足   的點  )是否為局部極大點極小點。具體言之:

  •  ,則    點取得局部極大值。
  •  ,則    點取得局部極小值。
  •  ,則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點,也可能是極大或極小點。

直觀理解,考慮一架賽車高速前進,但正在減速(加速度為負),則當速度降至零的一刻,賽車所在位置即為自起點出發,能達到的前方最遠處,因為此後速度降至負值,賽車會倒車。同樣,若考慮高速後退但加速度為正的賽車,則相應得到關於極小值的結論。

極限编辑

二階導數若存在,則可以衹用一個极限寫出:

 

以上極限稱為二階對稱導數英语second symmetric derivative[5][6]但是,有時二階對稱導數存在,則函數仍沒有(平常的)二階導數。

右側欲求極限的分式,可理解成差商的差商:

 

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而,上述極限存在並不推出函數   二階可導。該極限僅是二階導數存在時,計算該導數的一種方法,但並非其定義。反例有符号函数  ,其定義為:

 

符號函數在原點不連續,從而不可導,尤其並非二階可導。但是,在   處,二階對稱導數存在:

 

二次近似编辑

正如導數與线性近似密切相關,二階導數也與二次近似如影随形。某函數   於某點的二次近似,是一個二次函数,與   在該點處具有一樣的一、二階導數。函數    附近的二次近似可寫成:

 

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式

本徵值與本徵函數编辑

因為求導運算為線性,所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子,從而可以研究其。換言之,可求微分方程   的函數解  本徵向量)與常數  本徵值)。對於許多種邊界條件,可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

舉例,以閉區間   為定義域,邊界採用齊次狄利克雷条件(即  ),則諸本徵值 ,對應本徵向量(亦稱本徵函數 

 

給出。此處    為任意正整數。

其他情況的解,見二階導數的本徵值與本徵向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

高維推廣编辑

黑塞方陣编辑

二階導數的高維推廣,其一是同時考慮全體二階偏导数  。對於三元函數  ,二階偏導數包括

 

以及混合偏導數

 

還有其他次序的混合偏導數,如  ,但由二階導數的對稱性,衹要   滿足特定條件(如二階偏導數處處連續),則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是,各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣,稱為黑塞方陣(英語:HessianHessian matrix)。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗(稱為二階偏導數檢驗英语second partial derivative test)。

拉普拉斯算子编辑

另一種常見推廣,則是衹考慮對同一個變量的二階導數,再求和,得到拉普拉斯算子Laplace operatorLaplacian)。拉氏微分算子記作   。以三維情形為例,定義為

 

函數的拉氏算子等於梯度散度,亦是前述黑塞方陣之

參見编辑

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  1. ^ 相對之下,一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算,如鏈式法則中的抵銷。

參考文獻编辑

  1. ^ Content - The second derivative [目錄:二階導數]. amsi.org.au. [2020-09-16] (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Second Derivatives [二階導數]. Math24. [2020-09-16] (英语). 
  3. ^ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh. Extending the Algebraic Manipulability of Differentials [使微分更適宜代數操作]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 2019, 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553  (英语). 
  4. ^ Editors. Reviews [評論]. Mathematics Magazine. December 20, 2019, 92 (5): 396–397. S2CID 218542586. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628 (英语). 
  5. ^ A. Zygmund. Trigonometric Series [三角級數]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 (英语). 
  6. ^ Thomson, Brian S. Symmetric Properties of Real Functions [實函數的對稱性質]. Marcel Dekker. 1994: 1. ISBN 0-8247-9230-0 (英语). 

延伸閱讀编辑

紙本编辑

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