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大十二面體

大十二面體
大十二面體
大十二面體
類別 星形正多面體
12
30
頂點 12
歐拉特徵數 F=12, E=30, V=12 (χ=-6)
面的種類 12個正五邊形{5}
面的佈局英语Face configuration V(5/2)5
頂點圖 (55)/2[1]
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
施萊夫利符號 {5,5/2}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 52 | 2 5
對稱群 Ih, H3, [5,3], *532
參考索引 U35, C44, W21
對偶 小星形十二面體
特性 頂點正
非凸
Great dodecahedron vertfig.png
(55)/2[1]
頂點圖
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面體
(對偶多面體)

幾何學中,大十二面體[2]又稱為第二星形正十二面體[3][4],是一個由6對互相平行的正五邊形組成的非凸正多面體,同時也是一種星形正多面體[5],其外形有如內有星形圖案的正二十面體或每面內凹三角錐的正二十面體[6],是三種星形十二面體之一[4][3]。其頂點的布局與正二十面體相同,但邊的連結方式不同,因此可以視為正十二面體經過刻面英语faceting後的多面體[2]對偶多面體小星形十二面體。這個多面體被認為是由路易·龐索英语Louis Poinsot在1810年發現[7][8],雖然在溫佐·雅姆尼策爾英语Wenzel Jamnitzer於1568年出版的著作《Perspectiva Corporum Regularium》中有一幅形狀非常類似大十二面體的圖畫[9]。1983年時,溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了此種形狀,並給予編號W21[10]

目录

性質编辑

大十二面體是4個非凸正多面體之一,具二十面體的對稱性[11],由12個面[12]、30條邊和12個頂點所組成[13][14],其12個面皆為正五邊形面,其中12個五邊形中有6對互相平行的五邊形。其每個頂角都是由5個五邊形以五角星的路徑構成的五面角,因此在施萊夫利符號中可利用{5,5/2}來表示[15],意為此立體的所有頂角組成的面皆為五邊形{5},並且以五角星{5/2}的方式構成。而在考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram中則利用       來表示[16]

星狀圖英语Stellation diagram 外觀 星狀核 凸包
     
正十二面體
 
正二十面體

面的組成编辑

大十二面體由12個正五邊形面組成,每個正五邊形面都與另外5個正五邊形面互相相交,因此,其面有一部份是隱沒在圖形內部的,如下左圖,以白色表示,而露在外部的則以藍色表示[5]

 
大十二面體的面
 
同一個五邊形面以同一種顏色標示

二面角编辑

大十二面體是一種星形正多面體[17],因此大十二面體僅有一種二面角,其值為五平方根倒數的反餘弦值[18]

 

頂點坐標编辑

由於大十二面體的凸包正二十面體[2],且無頂點落在凸包內,因此大十二面體的頂點坐標會與相同邊長的正二十面體相同,邊長為單位長、幾何中心在原點,則其為:[19]

 
 
 

圖像编辑

 
忽略隱沒面後的展開圖[14]
透視模型 球面鑲嵌
 
旋轉動畫
 
此多面體可以表示成一個密鋪密度為3的球面鑲嵌(將其中一個五邊形面以表示)
展開圖 星狀圖
  × 20
大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體,此時,多面體變為由20個凹三角錐組成[6],因此可以展開成60個鈍角等腰三角形。
 
其也等同於第二星形十二面體,其佔據了星形十二面體的胞中,由內算來第二層的所有星形胞,溫尼爾將其給予編號W21

使用编辑

 
亚历山大之星
外部圖片链接
  動畫《遊戲人生》中星杯的外形[20]

星形正多面體經常出現在藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作。部分小說也有使用大十二面體進行創作,如《遊戲人生[21]。除了藝術創作外,常見文化也有關於大十二面體的使用,例如部分的魔術方塊之外型[22],以及其投影圖曾作為視覺化的相關實驗性教材[23]

在常見文化中编辑

在小說中编辑

在電腦科學中编辑

相關多面體與鑲嵌编辑

部分多面體與鑲嵌與大十二面體有一些幾何關聯。例如部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到,例如截角大十二面體截半大十二面體[25]、以及其對偶多面體小星形十二面體[19]

對偶多面體编辑

 
大十二面體的對偶多面體[19]

大十二面體的對偶多面體同樣是一個星形正多面體,為小星形十二面體[19],由12個五角星面組成[26]

康威變換的結果编辑

部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到,例如截角大十二面體,即截去大十二面體所有頂點後得到的立體[25][27]

名稱 小星形十二面體 截角小星形十二面體 截半大十二面體 截角大十二面體 大十二面體

英语Coxeter-Dynkin diagram
                                       
圖像          

相關三角化多面體编辑

大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體,此時,多面體變為由20個凹三角錐組成[6],這時,其拓樸結構則與三角化二十面體相同,皆是在正二十面體的每個三角形面接上三角錐[28][29]

星形三角化二十面體 小三角六邊形二十面體 三角化二十面體 正二十面體 大十二面體
         

星形鑲嵌圖编辑

其也可以視為一系列施萊夫利符號中可利用{n,n/2}表示的星形鑲嵌之一,例如七階七角星鑲嵌[30][31]

星形多面體和鑲嵌系列:(n2)n
對稱群
*n32
[n,3]
球面鑲嵌 平面鑲嵌 雙曲鑲嵌 仿緊湊 非緊湊
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*932
[9,3]
*10 32
[10,3]...
*∞32
[∞,3]
 
[iπ/λ,3]
考克斯特紀號                                                                
星形
頂點
布局
 
(52)5
 
(62)6
 
(72)7
 
(82)8
 
(92)9
 
(102)10
 
(2)
(2)
           
星形對偶
考克斯特紀號                                                                
星形
頂點
布局
 
(55)∕2
 
(66)∕2
 
(77)∕2
 
(88)∕2
 
(92)9
 
(102)10
  
(偶數)(奇數)
()∕2
()∕2

對偶複合體编辑

 

大十二面體與其對偶的複合體為複合小星形十二面體大十二面體。其共有24個面、60條邊和24個頂點,其尤拉示性數為-12,虧格為7[32],而在這個立體圖形中,大十二面體完全隱沒於小星形十二面體而不可見[33]

參見编辑

參考文獻编辑

參考資料
  1. ^ Robert Webb. Great Dodecahedron. software3d.com. [2017-07-25]. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 埃里克·韦斯坦因. Great Dodecahedron. MathWorld. 
  3. ^ 3.0 3.1 Wenninger, M. J. Polyhedron Models. New York: Cambridge University Press. 1989: pp. 35 and 38-40. 
  4. ^ 4.0 4.1 埃里克·韦斯坦因. Dodecahedron Stellations. MathWorld. 
  5. ^ 5.0 5.1 Richeson, D.S. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. 2008: 151. ISBN 9780691126777. LCCN 2008062108. [永久失效連結]
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Hilton, P. and Pedersen, J. and Donmoyer, S. A Mathematical Tapestry: Demonstrating the Beautiful Unity of Mathematics. Cambridge University Press. 2010: 171. ISBN 9781139489072. 
  7. ^ Louis Poinsot英语Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
  8. ^ Senechal, M. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. EBSCOhost ebooks online. Springer New York. 2013: 60. ISBN 9780387927145. LCCN 2013932331. 
  9. ^ Wenzel Jamnitzer. Perspectiva Corporum Regularium. 1568. 
  10. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  11. ^ Roman E. Maeder. 35: great dodecahedron. mathconsult.ch. [2017-07-25]. 
  12. ^ great-dodecahedron. the universeis mental. [2017-07-25]. 
  13. ^ Great Dodecahedron. bulatov.org. 
  14. ^ 14.0 14.1 Gijs Korthals Altes. Paper Great Dodecahedron. korthalsaltes.com. [2017-07-25]. 
  15. ^ Eric W. Weisstein. Great Dodecahedron. 密西根州立大學. 1999-05-25 [2017-07-25]. 
  16. ^ Buekenhout, F. and Cohen, A.M. Diagram Geometry: Related to Classical Groups and Buildings. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 2013. ISBN 9783642344534. LCCN 2013930009. [永久失效連結]
  17. ^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
  18. ^ Kepler-Poinsot Solids: Great Dodecahedron. dmccooey.com. 
  19. ^ 19.0 19.1 19.2 19.3 Data of Great Dodecahedron. dmccooey.com. 
  20. ^ 榎宮祐. NO GAME NO LIFE 遊戲人生[12]. 巴哈母特動畫瘋. [2017-09-07] (中文). 
  21. ^ 21.0 21.1 榎宮祐. 《NO GAME NO LIFE 遊戲人生6》 聽說遊戲玩家夫妻向世界挑戰了. 2014-04-25: 第330-331頁. EAN 4710945544663. 
  22. ^ 22.0 22.1 Alexander's Star - Jaap's Puzzle Page. jaapsch.net. [2017-07-25]. 
  23. ^ THE GREAT DODECAHEDRON. transum.org. [2017-07-25]. 
  24. ^ Baez, John "Golay code," Visual Insight, December 1, 2015.
  25. ^ 25.0 25.1 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover,. 1991: p. 103. 
  26. ^ Weber, Matthias, Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface, Pacific J. Math., 2005, 220: 167–182, doi:10.2140/pjm.2005.220.167 
  27. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated great dodecahedron. MathWorld. 
  28. ^ Grünbaum, Branko英语Branko Grünbaum, Unambiguous polyhedral graphs, Israel Journal of Mathematics, 1963, 1 (4): 235–238, MR 0185506, doi:10.1007/BF02759726 
  29. ^ Grünbaum, Branko英语Branko Grünbaum, Convex Polytopes, Wiley Interscience, 1967 
  30. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
  31. ^ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 
  32. ^ compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron. bulatov.org. 
  33. ^ 埃里克·韦斯坦因. Great Dodecahedron-Small Stellated Dodecahedron Compound. MathWorld. 
參考書目
  1. Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. Coxeter, H. S. M. The Fifty-Nine Icosahedra. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. 1938. ISBN 0-387-90770-X.