物理学领域里,算符(operator)亦称算子运算子[1],有别于数学的算子,其作用于物理系统的状态空间,使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂,需要用很多方程式来表明,假若能够使用算符来代表,可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例,假若作用的对象有所迥异,算符的物理行为也会不同;但是,对于有些案例,算符的物理行为具有一般性,这时,就可以将论题抽象化,专注于研究算符的物理行为,不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性守恒定律的论题。因此,在经典力学里,算符是很有用的工具。在量子力学里,算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究,可能会遇到很艰难的数学问题,算符理论(operator theory)能够提供高功能的架构,使得数学推导更为简洁精致、易读易懂,更能展现出内中物理涵意。

一般而言,在经典力学里的算符大多作用于函数,这些函数的参数为各种各样的物理量,算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”,作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

经典力学

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经典力学里,粒子(或一群粒子)的动力行为是由拉格朗日量 哈密顿量 决定;其中,  分别是广义坐标广义速度 共轭动量 是时间。

假设拉格朗日量 或哈密顿量 与某广义坐标 无关,则当 有所改变时,  仍旧会保持不变,这意味著粒子的动力行为也会保持不变,对应于 的共轭动量 守恒。对于广义坐标 的改变,动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里,当研读有关对称性的课题时,算符是很有用的工具。

特别而言,假设对于某种 的变换运算,物理系统的哈密顿量是个不变量;也就是说,假设 

 

在这案例里,所有 的元素 都是物理算符,能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态;尽管 作用于这物理系统,哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符” 能够将粒子从坐标为 移动至坐标为 ,以方程式表示:

 

其中, 是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统,则尽管 的作用,这物理系统的哈密顿量 是个不变量,对应于坐标 的动量 守恒。

经典力学算符表格

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算符 标记 位置 动量
平移算符      
时间演化算符      
旋转算符      
伽利略变换算符      
宇称算符      
时间反演算符      
  •  旋转矩阵 是旋转轴向量, 是旋转角弧。

生成元概念

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对于一个微小的平移变换,猜测平移算符的形式为

 

其中, 是“单位算符”──变换单位元 是微小参数, 是专门用来设定平移变换生成元

为了简化论述,只考虑一维案例,推导平移于一维空间的生成元。将平移算符 作用于函数 

 

由于 很微小,可以泰勒近似 

 

重写平移算符的方程式为

 

其中,导数算符 是平移群的生成元。

总结,平移群的生成元是导数算符。

指数映射

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在正常状况下,通过指数映射,可以从生成元得到整个。对于平移于空间这案例,重复地做 次微小平移变换 ,来代替一个有限值为 的平移变换 

 

现在,让 变得无穷大,则因子 趋于无穷小:

 

这表达式的极限为指数函数:

 

核对这结果的正确性,将指数函数泰勒展开幂级数

 

这方程式的右手边可以重写为

 

这正是 泰勒级数,也是 的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容,请参阅条目C*-代数盖尔范德-奈马克定理(Gelfand-Naimark theorem)。

量子力学

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量子力学里,算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定,态向量是向量空间单位范数向量。在向量空间内,量子算符作用于量子态,使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变,量子算符必须是厄米算符[来源请求]。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为本征态,称此乘法数值为本征值[2]:11-12

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量,都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量的结果只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈机率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[3]:106-109

量子算符

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假设,物理量 是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符 可能有很多不同的本征值 与对应的本征态 ,这些本征态 ,形成了具有正交归一性基底[3]:96-99

 

其中, 克罗内克函数

假设,某量子系统的量子态为

 

其中, 是复系数,是在 里找到 机率幅[2]:50

测量这动作将量子态 改变为本征态 的机率为 ,测量结果是本征值 的机率也为 

期望值

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在量子力学里,重复地做同样实验,通常会得到不同的测量结果,期望值是理论平均值,可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记,对于量子系统的量子态 ,可观察量 的期望值 定义为[2]:24-25

 

其中, 是对应于可观察量 的算符。

将算符 作用于量子态 ,会形成新量子态 

 

从左边乘以量子态 ,经过一番运算,可以得到

 

所以,每一个本征值与其机率的乘积,所有乘积的代数和,就是可观察量 期望值

 

将上述定义式加以推广,就可以用来计算任意函数 的期望值:

 

例如, 可以是 ,即重复施加算符 两次:

 

对易算符

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假设两种可观察量  的算符分别为  ,它们的对易算符定义为

 

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符,当作用于量子态 时,会给出

 

假设 ,则称这两种可观察量为“相容可观察量”,否则, ,称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

假设两种可观察量为不相容可观察量,则由于不确定原理,绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题,不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验,装备足够优良的测量仪器,则对于某些量子系统,测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[4]

厄米算符

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每一种经过测量而得到的物理量都是实值,因此,可观察量 的期望值是实值:

 

对于任意量子态 ,这关系都成立:

 

根据伴随算符的定义,假设  的伴随算符,则 。因此,

 

这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。[3]:96-99

矩阵力学

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应用基底的完备性,添加单位算符 于算符 的两旁,可以得到[2]:20-23

 

其中, 是求和式内每一个项目的系数。

所以,量子算符可以用矩阵形式来代表:

 

算符 与它的伴随算符 彼此之间的关系为

 

所以,分别代表这两个算符的两个矩阵,彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符,代表的矩阵是个实值的对称矩阵

用矩阵代数来计算算符 怎样作用于量子态 ,假设系统因此变换为量子态 

 

从左边乘以本征态 ,应用基底的完备性,添加单位算符 于算符的右边,可以得到

 

右矢  分别用竖矩阵来代表

       

两个竖矩阵彼此之间的关系为

 

假设算符 是厄米算符,则其所有本征态都相互正交。[5]以矩阵来代表算符,可以计算出一组本征值与对应的本征态,每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质,可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式,就可以找到本征值 

 

量子算符表格

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在这表格里,算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间,则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符,不是单位向量。

算符名称 直角坐标系分量表示 向量表示
位置算符    
动量算符 一般状况

 

一般状况

 

电磁场

 

电磁场( 磁向量势

 

动能算符 平移运动

 

平移运动

 

电磁场

 

电磁场( 磁向量势

 

旋转运动( 转动惯量

 

旋转运动

 

势能算符 N/A  
能量算符 N/A 含时位势:

 

不含时位势:
 

哈密顿算符 N/A  
角动量算符    
自旋算符  

其中,

 

 

 

自旋1/2粒子的包立矩阵

 

其中,向量 的分量是包立矩阵。

总角动量算符    
跃迁矩(电)
(transition moment)
   

范例

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位置算符

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只思考一维问题,将位置算符 施加于位置本征态 ,可以得到本征值 ,即粒子的位置:[6]:220-221

 

由于位置基底具有完整性 ,任意量子态 可以按著位置本征态形成的基底展开:

 

将位置算符 施加于量子态 ,由于算符 只作用于右矢 ,与其它数学个体无关,可以移入积分式内:

 

左矢 与这方程式的内积为

 

设定量子态 。由于位置基底具有完整性 ,量子态  的内积,可以按著位置本征态形成的基底展开为

 

将这两个积分式加以比较,立刻可以辨识出全等式

 

设定量子态 。量子态  的位置空间表现,即波函数,分别定义为

 
 

两个波函数  之间的关系为

 

总结,位置算符 作用于量子态 的结果 ,表现于位置空间,等价于波函数  的乘积 

动量算符

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表现于位置空间,一维动量算符为

 

将动量算符 施加于量子态 ,可以得到类似前一节得到的结果:

 

应用位置基底所具有的完整性,对于任意量子态 ,可以得到更广义的结果:

 

其中,  分别是量子态  表现于位置空间的波函数

假设  的本征态,本征值为 ,则可得到

 

 改写为本征值为 的本征态 ,方程式改写为

 

这微分方程式的解析解为

 

所以,动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程式,就可以推导求得这出结果。[2]:50-54

参阅

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参考文献

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  1. ^ Kittel charles著,洪连辉等译,固态物理学导论,第681页。
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  4. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  5. ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
  6. ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2