拓撲空間(英語:Topological space)是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構;拓撲空間也是一個集合,其元素稱為點,由此可以定義出如收斂連通連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用,是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值,研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學

定義動機

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拓撲結構最實用的動機,在於怎麼去定義「一點的附近」,用以定義函數極限

對於度量空間   內的任一點  ,可定義中心為  ,半徑為  開球

 

然後把開球視為點   附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的,那一般的「開放邊界區域」,應該是任取裏面的點   ,都會有一個夠小的開球   完全落在這個區域裏,也就是說,可以定義  開子集   為滿足如下條件的子集合

 

這樣定義的開集有一些有趣的性質:

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個   的開子集   ,若   ,根據定義存在   使得

 
 

這樣若取   ,則會有:

 

也就是說,   也是個開集。

(2) 任意個開集的併集也會是開集

  是一群開集所構成的集合,也就是說

 

如果取

 

換句話說:

 

這樣的話,顯然有

 

所以   也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下,去定義一個描述「一點的附近」的結構,換句話說,去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合,任二開集的交集是開的且任意開集的併集也是開的

正式定義

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上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間,因為缺少{2}和{3}的併集{2,3};右下角的集合也不是個拓撲空間,因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓撲結構一詞涵蓋了開集系閉集系鄰域系開核閉包導來集濾子等若干概念。可以從這些概念出發,給出若干種等價結構,但大部分書籍都以開集系為準。

開集系

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根據定義動機一節可以作如下的定義:

  的子集   若滿足以下開集公理

正式定義 直觀解釋
    本身和空集合也是開的
  有限個開集的交集也是開的
  任意個開集的併集也是開的

則稱   為   的開集系(其中的元素稱為開集)或拓撲  則被稱為一拓撲空間  內的元素   則稱為拓撲空間  

開集系的代號   是字母「O」的德文尖角體,取名自德語形容詞offen」(開的)。

從開集系出發定義其它概念:(   的子集)

  • 閉集:若   是開集,則稱   是閉集。
  • 鄰域:若存在開集   使得   ,則稱   是點   的鄰域。
  • 開核 開核(或內部  定義為  內所有開集之並,也就是
     


閉集系

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  的子集   若滿足如下閉集公理

正式定義 直觀解釋
    本身和空集合也是閉的
  有限個閉集的併集是閉的
  任意個閉集的交集是閉的

則稱   閉集系(其中的元素稱為閉集)。

開集系的代號   是字母「 F」 的德文尖角體,取名自法語動詞fermer」(關閉)的過去分詞fermé」(封閉的)。

根據德摩根定理量詞符號的意義,以下的子集族

 

為開集系,類似地,對於開集系   ,以下的子集族

 

為閉集系,所以閉集系跟拓撲是等價的結構

從閉集系出發定義其它概念:(   的子集)

  • 開集  是閉集,則稱   是開集。
  • 閉包  的閉包  定義為包含A的所有閉集之交,也就是
     

鄰域系

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函數    冪集的冪集,也就是由所有子集所構成的集合)若對任意   滿足如下鄰域公理

正式定義 直觀解釋
    屬於   的任意元素(  裏的元素都是   的鄰域)
    的任二鄰域的交集也是   的鄰域
  包含任何   的鄰域的任意子集也是   的鄰域
    的每個鄰域內有個   的鄰域,使的大鄰域都是小鄰域裏面點的領域

這樣任意   被稱為  鄰域系  裏的元素   則稱為  鄰域

換句話說,函數    的每個點   映射至   ,而   則是所有   的鄰域所構成的集族。

鄰域系的代號   是字母「 U」 的德文尖角體,取名自德語動詞umgeben」(環繞)的名詞化Umgebung」(周圍、環境)。

若取以下的子集族

 

因為   包含任意鄰域,   本身顯然為任意   的領域,故   ;另外空集合   沒有任何屬於它的點,所以根據實質條件的意義 

若取   ,根據鄰域公理的第二項有   ;若取   ,且   ,那換句話說

 

這樣的話有

 

那這樣根據鄰域公理第三項, ,所以   的確是個開集合系。

類似地對於開集系   ,若對任意  

 

  也會符合上面四款鄰域系公理(注意到第四項取   ),所以對所有   定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲

從鄰域系出發定義其它概念:(   的子集)

  • 開集:對任意   ,有  ,則稱   是開集。(開集本身是它所有點的鄰域)
  • 開核 (開核裏的每一點,都有一個包含於   的領域。)
  • 閉包 。(閉包裏每一點的領域,都跟   有交集。)

閉包公理

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 的冪集 上的一元運算 (即將 的子集A映射為 的子集 )稱為閉包運算(像稱為原像的閉包)。當且僅當運算 滿足下述的閉包公理

  • A1 
  • A2 
  • A3 
  • A4 

集合 的閉包通常記為 

從閉包出發定義其它概念:

  • 閉包定義閉集 的子集 是閉集,當且僅當 
  • 閉包定義開核 的子集 的開核 
  • 閉包定義鄰域 的子集 是點 的鄰域,當且僅當 

開核公理

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 的冪集 上的一元運算 (即將 的子集A映射為 的子集 )稱為開核運算(像稱為原像的開核內部)。當且僅當運算 滿足如下開核公理

  • I1 
  • I2 
  • I3 
  • I4 

集合 的開核通常記為 。 (顯然,開核運算是閉包運算的對偶概念)。

從開核出發定義其它概念:

  • 開核定義開集 的子集 是開集,當且僅當 
  • 開核定義鄰域 的子集 是點 的鄰域,當且僅當 
  • 開核定義閉包 的子集 的閉包 

導來集公理

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 的冪集 上的一元運算 (即將 的子集 映射為 的子集 )稱為導來集運算(像稱為原像的導來集),當且僅當 滿足以下導來集公理

  • D1 
  • D2 
  • D3 
  • D4 

從導來集出發定義其它概念:

  • 導來集定義閉集 的子集 是閉集,當且僅當 


拓撲之間的關係

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同一個全集可以擁有不同的拓撲,有些是有用的,有些是平庸的,這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲 的每一個開集都是拓撲 的開集時,稱拓撲 比拓撲 ,或稱拓撲 比拓撲 

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論,在更細的拓撲上依然成立;類似的,僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論,在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲,最細的拓撲是離散拓撲,這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中,我們也用大小或者強弱來表示這裏粗細的概念。

連續映射與同胚

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類似定義拓撲空間,連續映射也有基於開集,閉集,開核,閉包和鄰域等概念的等價定義。

定義 — 
   都是拓撲空間,如果函數   滿足:

 

  -  連續

若更進一步, 對射而有反函數    -  連續,則稱   -  同胚映射,且稱   是同胚的。

性質

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  •  對任何閉集的原像是閉集。
  • 對點 的任一鄰域 ,都存在點 的一個鄰域 ,使得 ,則稱 在點 連續,而連續映射即點點連續的映射。
  • 對任一集合  成立。
  • 對任一集合  成立。

拓撲空間範疇

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拓撲空間作為物件,連續映射作為態射,構成了拓撲空間範疇,它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變量來對這個範疇進行分類的想法,激發和產生了整個領域的研究工作,包括同倫論同調論K-理論

相關概念

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基本概念

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給定拓撲空間 ,A是X的子集,有以下概念(繼續使用上面的符號):

內部,內點
A的開核o(A)又稱為A的內部,其元素稱為A的內點
外部,外點
X - c(A)稱為A的外部,其元素稱為A的外點
邊界,邊界點
c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界,其元素稱為A的邊界點
觸點
A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點
稠密性,稠密集
稱A在X中是稠密的(或稱稠密集),當且僅當c(A) = X。
邊緣集
稱A是X的邊緣集,當且僅當X-A在X中是稠密的。
疏性,疏集
稱A在X中是疏的(或稱疏集),當且僅當c(A)是X中的邊緣集。
第一範疇集,第二範疇集
稱A是X中的第一範疇集,當且僅當A可以表示為可數個疏集的並。稱A是X中的第二範疇集,當且僅當A不是X中的第一範疇集。
聚點,導來集
X中的點x稱為A的聚點,當且僅當x ∈ c(A - {x})(或者等價地,x的任意鄰域至少包含x以外的A的一個點)。A的所有聚點組成的集合稱為A的導來集
孤立點
A中的點x稱為A的孤立點,當且僅當它不是A的聚點。
孤點集,離散集
稱A為孤點集離散集,當且僅當A中所有的點都是A的孤立點。
自密集
稱A為自密集,當且僅當A中的點都是A的聚點(等價地,A中沒有A的孤立點)。
完備集
稱A為完備集,當且僅當A等於其導來集。
自密核
A的最大自密子集稱為A的自密核
無核集
稱A是無核集,當且僅當A的自密核是∅(或等價地,A的任意非空子集都含有孤立點)。

的目的在推廣序列及極限,網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集 

空間 上的一個網 是從有向集合 映至 的映射。

若存在 ,使得對每個 的鄰域 都存在 ,使得 ,則稱網 收斂至 

幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性,請參閱主條目

拓撲空間的例子

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  • 實數R構成一個拓撲空間:全體開區間構成其上的一組拓撲基,其上的拓撲就由這組基來生成。這意味着實數集R上的開集是一組開區間的並(開區間的數量可以是無窮多個,但進一步可以證明,所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並)。從許多方面來說,實數集都是最基本的拓撲空間,並且它也指導着我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解;但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間,它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
  • 更一般的,n維歐幾里得空間Rn構成一個拓撲空間,其上的開集就由開球來生成。
  • 任何度量空間都可構成一個拓撲空間,如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間,如泛函分析領域中的Banach空間希爾伯特空間
  • 任何局部體都自然地擁有一個拓撲,並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間
  • 除了由全體開區間生成的拓撲之外,實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲(lower limit topology)。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲;在這種拓撲空間中,一個點列收斂於一點,當且僅當,該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
  • 流形都是一個拓撲空間。
  • 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中,相應的單形分別是線段三角形四面體
  • 每一個單體複形都是一個拓撲空間。一個單體複形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單體複形—來建立模型,參見多胞形(Polytope)。
  • 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲,這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rn或者Cn來說,相應扎里斯基拓撲定義的閉集,就是由全體多項式方程的解集合構成。
  • 線性圖是一種能推廣的許多幾何性質的拓撲空間。
  • 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲,在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
  • 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中,只有常數列或者網是收斂的。
  • 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中,任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們,在某些極端情況下,一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
  • 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集補集加上空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
  • 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集補集加上空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間
  • 如果Γ是一個序數,則集合[0, Γ]是一個拓撲空間,該拓撲可以由區間(a, b]生成,此處ab是Γ的元素。

例子

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  1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {, X} 會形成一個密著拓撲。
  2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
  3. X = (整數集合)及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲,因為(例如)所有不包含零的有限集合的併集是無限的,但不是  的全部,因此不在 τ 內。
  4. 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
  5. 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
  6. 3個元素的集上總拓撲數只有29個。
  7. 4個元素的集上總拓撲數只有355個。
  8. n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中,不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明

3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類,具體如下:

  1. {∅, X}
  2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
  3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
  4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
  5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
  6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
  7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
  8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
  9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓撲空間的構造

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  • 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲,子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
  • 對任何非空的拓撲空間族,我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲,這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說,積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
  • 商拓撲可以被如下地定義出來:若X是一個拓撲空間,Y是一個集合,如果f : X  →  Y是一個滿射,那麼Y獲得一個拓撲;該拓撲的開集可如此定義,一個集合是開的,當且僅當它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類,從而給出拓撲空間X上的一個等價關係
  • Vietoris拓撲

拓撲空間的分類

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依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設X為一個拓撲空間。

分離公理

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詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式,請參照分離公理的歷史

拓撲不可區分性
X中兩個點x,y稱為拓撲不可區分的,當且僅當如下結論之一成立:
  • 對X中每個開集U,或者U同時包含x,y兩者,或者同時不包含它們。
  • x的鄰域系和y的鄰域系相同。
  •  ,且 

可數公理

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可分的
X稱為可分,當且僅當它擁有一個可數稠密子集。
第一可數
X稱為第一可數,當且僅當其任何一個點都有一個可數的局部基。
第二可數
X稱為第二可數,當且僅當其擁有一個可數的基。

連通性

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連通
X稱為連通,當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。(或等價地,該空間的閉開集(既開又閉的集合)只有空集和全空間兩者)。
局部連通
X稱為局部連通,當且僅當它的每個點都存在一個特殊的局部基,這個局部基由連通集構成。
完全不連通
X稱為完全不連通,當且僅當不存在多於一個點的連通子集。
路徑連通
X稱為路徑連通,當且僅當其任意兩點xy,存在從xy的道路p,也即,存在一個連續映射p: [0,1] → X,滿足p(0)= xp(1)= y。路徑連通的空間總是連通的。
局部路徑連通
X稱為局部路徑連通,當且僅當其每個點都有一個特殊的局部基,這個局部基由路徑連通集構成。一個局部路徑連通空間是連通的,當且僅當它是路徑連通的。
單連通
X稱為單連通,當且僅當它是路徑連通且每個連續映射 都與常數映射同倫
可縮
X稱為可縮,當且僅當它同倫等價到一點。
超連通
X稱為超連通的,當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
極連通
X稱為極連通的,當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含路徑連通。
平庸的
X稱為平庸的,當且僅當其開集只有本身與空集。

緊性

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(詳細資料請參照緊集

緊性
X稱為緊的,當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
林德洛夫性質
X稱為擁有林德洛夫性質,當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
仿緊
X稱為仿緊的,當且僅當其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
可數緊
X稱為可數緊的,當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
列緊
X稱為可數緊的,當且僅當其任意點列都包含收斂子列。
偽緊
X稱為偽緊的,當且僅當其上的任意實值連續函數都有界。

可度量化

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可度量性意味着可賦予空間一個度量,使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一個第二可數的正則郝斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

擁有代數結構的拓撲空間

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對於任一類代數結構,我們都可以考慮其上的拓撲結構,並要求相關的代數運算是連續映射。例如,一個拓撲群 乃是一個拓撲空間配上連續映射 (群乘法)及 (反元素),使之具備群結構。

同樣地,可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間,使得加法與純量乘法是連續映射,這是泛函分析的主題;我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構,往往可以引出相當豐富而實用的理論,例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論代數幾何中,人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論,並得到較簡明的陳述;如數論中的局部體(一種拓撲域),伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲(一種特別的拓撲群),以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲(一種拓撲環)等等。

擁有序結構的拓撲空間

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拓撲空間也可能擁有自然的序結構,例子包括:

  • 譜空間(spectral space)上的序結構。
  • 特殊化預序:定義 。常見於計算機科學


外部連結

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n個元素的集上總拓撲數規律

參考書目

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  • John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
  • James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.