逆矩陣

提示：此條目頁的主題不是轉置矩陣。

逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在線性代數中，給定一個n 階方陣$\mathbf {A}$，若存在一n 階方陣$\mathbf {B}$，使得$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$，其中$\mathbf {I} _{n}$為n 階單位矩陣，則稱$\mathbf {A}$是可逆的，且$\mathbf {B}$是$\mathbf {A}$的逆矩陣，記作$\mathbf {A} ^{-1}$。

只有方陣（n×n 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方陣$\mathbf {A}$的逆矩陣存在，則稱$\mathbf {A}$為非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴隨矩陣法

如果矩陣$A$可逆，則$A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}$其中$A^{*}=\mathrm {adj} (A)$是$A$的伴隨矩陣，$|A|=\mathrm {det} (A)$是$A$的行列式。

注意：$A^{*}$中元素的排列特點是$A^{*}$的第$k$列元素是$A$的第$k$行元素的代數餘子式。要求得$A^{*}$即為求解$A$的余因子矩陣的轉置矩陣。

初等變換法

如果矩陣$A$和$B$互逆，則$AB=BA=I$。由條件$AB=BA$以及矩陣乘法的定義可知，矩陣$A$和$B$都是方陣。再由條件$AB=I$以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知，這兩個矩陣的行列式都不為$0$。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是$n\times n$方陣，且$rank(A)=rank(B)=n$換而言之, ${\textstyle A}$與${\textstyle B}$均為滿秩矩陣）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變為單位矩陣。

因為對矩陣$A$施以初等行變換（初等列變換）就相當於在$A$的左邊（右邊）乘以相應的初等矩陣，所以我們可以同時對$A$和$I$施以相同的初等行變換（初等列變換）。這樣，當矩陣$A$被變為$I$時，$I$就被變為$A$的逆陣$B$。

性質

1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$
3. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$（$A^{\mathrm {T} }$為A的轉置）
5. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$（det為行列式）

廣義逆陣

主條目：廣義逆陣

廣義逆陣（Generalized inverse）又稱偽逆，是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾－彭若斯廣義逆，它是由E·H·摩爾和羅傑·潘洛斯分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小二乘問題中有重要應用。

參見

• 矩陣
• 廣義逆陣
• 除法