初等群論

在數學中，群 <G,*> 定義為集合 G 和叫做「乘積」並指示為中綴 "*" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, b 和 c 是 G 的任意元素。則:

• A1, 封閉性。 a*b 在 G 中；
• A2, 結合律。(a*b)*c = a*(b*c)；
• A3, 單位元素。存在一個 G 中的單位元素 e 使得 a*e = e*a = a。 G 的單位元素 e 據下述定理 1.4 是唯一性的；
• A4，反元素。對於每個 G 中 a，存在一個 G 中的反元素 x 使得 a*x = x*a = e。a 的反元素 x 據下述定理 1.5 是唯一性的。

阿貝爾群還服從額外的規則:

• A5，交換律。a*b = b*a。

封閉性是二元運算定義的一部分，因此 A1 經常省略。

細節

• 群乘積 "*" 不必然是乘法。加法也可以，很多更不標準的運算也行。
• 在 * 是標準運算的時候，我們轉而使用標準符號(比如對加法使用 +)。
• 在 * 是加法或(除了乘法)任何交換運算的時候，0 通常指示單位元素，而 -a 指示 a 的反元素。運算總是用非 * 的東西經常為 + 來避免混淆於乘法。
• 在 * 是乘法或非交換運算的時候，a*b 經常寫為 ab。1 通常指示單位元素，而a ^-1 通常指示 a 的反元素。
• 群 <G,*> 經常被稱為「群 G」或簡稱「G」；但是運算 "*" 對於群的描述是基礎性的。
• <G,*> 經常念為「在 * 下的群 G」。在斷定 G 是一個群的時候(比如在定理中)，我們說「G 是在 * 下的一個群」。

例子

G = {1,-1} 是乘法下的一個群，因為對於所有 G 中的元素 a, b, c:

A1: a*b 是 G 的一個元素.

A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通過枚舉所有 8 種可能(和平凡的)情況來驗證。

A3: a*1 = a。因為 1 是單位元素。

A4: a^-1*a = 1。因此 a^-1 指示反元素而單位元素 1 是自身的反元素。

整數集 Z 和實數集 R 是在加法 '+' 下的群，對於所有 Z 或者 R 中的元素 a, b 和 c:

A1: 任何兩個數相加產生同類的另一個數。

A2: (a+b)+c = a+(b+c)。

A3: a+0 = a。因此 0 是單位元素。

A4: -a+a = 0。因此 -a 指示反元素而單位元素 0 是自身的反元素。

實數集 R 不是乘法 '*' 下的群。對於所有 R 中的 a, b 和 c:

A3: 單位元素是 1。

A4: 0*a = 0，所以 0 沒有反元素。

實數集去除 0 即 R^# 是在乘法 '*' 下的群。

A1: 任何兩個 R^# 的元素相乘產生 R^# 的另一個元素。

A2: (a*b)*c = a*(b*c)。

A3: a*1 = a。因此 1 指示單位元素。

A4: a ^-1*a = 1。因此 a ^-1 指示反元素。

可替代的公理

A3 和 A4 可以被替代為:

• A3’，左單位元素。存在一個 G 中元素 e 使得對於所有 G 中的 a，e*a = a。
• A4’，左反元素，對於每個 G 中的 a，存在一個 G 中的元素 x 使得 x*a = e。

還可以替代為:

• A3’’，右單位元素。存在一個 G 中的 e 使得對於所有 G 中的 a，a*e = a。
• A4’’，右反元素。對於每個 G 中的 a，存在一個 G 中的元素 x 使得 a*x = e。

這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。

定理: A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蘊含 A3 和 A4。

證明。假設給出了左單位元素 e 和 G 中的 a，根據 A4’存在一個 x 使得 x*a = e。

我們欲證明的是 a*x = e。 根據 A4’存在 G 中的一個 y 有著:

$y*(a*x)=e\quad (1)$

所以:

e	= y * (a * x)	(1)
	= y * (a * (e * x))	(A3')
	= y * (a * ((x * a) * x))	(A4')
	= y * (a * (x * (a * x)))	(A2)
	= y * ((a * x) * (a * x))	(A2)
	= (y * (a * x)) * (a * x)	(A2)
	= e * (a * x)	(1)
	= a * x	(A3')

這確立了 A4。

a * e	= a * (x * a)	(A4)
	= (a * x) * a	(A2)
	= e * a	(A4)

這確立了 A3。

定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蘊含 A3 和 A4。

證明。類似上述。

基本定理

單位元素唯一

定理 1.4: 群 <G,*> 的單位元素是唯一的。

證明: 假設 e 和 f 是 G 的兩個單位元素。則

e	= e * f	(A3)
	= f	(A3')

在討論和比較不同的群的時候，e_G 指示特定群 <G,*> 的唯一單位元素。

反元素唯一

定理 1.5: <G,*> 中每個元素的反元素是唯一的。

證明: 假設 h 和 k 是 G 的元素 g 的兩個反元素。則

h	= h * e	(A3)
	= h * (g * k)	(A4)
	= (h * g) * k	(A2)
	= (e * k)	(A4)
	= k	(A3)

沒有歧義性的，對於所有 G 中的a，我們指示 a 的唯一反元素為 a ^-1。

拉丁方陣性質

參見：拉丁方陣性質

定理 1.3: 對於所有 G 中元素 a,b，存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。

證明。的確存在至少一個這種 x，因為如果我們設 x = a ^-1*b，則 x 在 G 中(通過 A1，閉包)並且:

• a*x = a*(a ^-1*b) (代換 x)
• a*(a ^-1*b) = (a*a ^-1)*b (結合律 A2)。
• (a*a ^-1)*b = e*b = b. (單位元素 A3)。
• 因此總是存在一個 x 滿足 a*x = b。

為了證明這是唯一性的，如果 a*x = b，則

• x = e*x
• e*x = (a ^-1*a)*x
• (a ^-1*a)*x = a ^-1*(a*x)
• a ^-1*(a*x) = a ^-1*b
• 因此，x = a ^-1*b

類似的，對於所有 G 中的 a,b，存在唯一的一個 G 中的 y 使得 y*a = b。

兩次逆換回到起點

定理 1.6: 對於所有群 G 中的元素 a，(a ^-1) ^-1 = a。

證明。a ^-1*a = a ^-1*(a ^-1) ^-1=e。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

ab的反元素

定理 1.7: 對於所有群 G 中元素 a,b，(a*b) ^-1 = b ^-1*a ^-1。

證明。(a*b)*(b ^-1*a ^-1) = a*(b*b ^-1)*a ^-1 = a*e*a ^-1 = a*a ^-1 = e。結論得出自定理 1.4。

消除

定理 1.8: 對於所有群 G 中的元素 a,x 和 y，如果 a*x = a*y，則 x = y；並且如果 x*a = y*a，則 x = y。

證明。如果 a*x = a*y 則:

• a ^-1*(a*x) = a ^-1*(a*y)
• (a ^-1*a)*x = (a ^-1*a)*y
• e*x = e*y
• x = y

如果 x*a = y*a 則

• (x*a)*a ^-1 = (y*a)*a ^-1
• x*(a*a ^-1) = y*(a*a ^-1)
• x*e = y*e
• x = y

冪

對於 $n\in \mathbb {Z}$ 和 $a\in G$ 我們定義:

$a^{n}:={\begin{cases}\underbrace {a*a*\cdots *a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\1,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {a^{-1}*a^{-1}*\cdots *a^{-1}} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}$

定理 1.9: 對於所有群 <G,*> 中的 a，$n,m\in \mathbb {Z}$:

${\begin{matrix}a^{m}*a^{n}&=&a^{m+n}\\(a^{m})^{n}&=&a^{m*n}\end{matrix}}$

類似的如果 G 使用了加法符號，我們有:

$n*a:={\begin{cases}\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\0,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots +(-a)} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}$

並且:

${\begin{matrix}(m*a)+(n*a)&=&(m+n)*a\\m*(n*a)&=&(m*n)*a\end{matrix}}$

階

群元素的階

群 G 中的元素 a 的階是最小正整數 n 使得 aⁿ = e。有些它寫為「o(a)=n」。n 可以是無限的。

定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說，如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立，則對於所有 G 中的 a,b，a*b = b*a。

證明 1。設 a, b 是群 G 中任何 2 個元素。 由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素，所以 (a*b) 是群 G 的 2 階元素

• a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e ...(1) by 公理 A2
• a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 階元素
• a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)兩式皆等於e
• b*b*a = b*a*b ...(4) by 定理 1.8
• b*a = a*b ...(5) by 定理 1.8

因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

證明 2。設 a, h 是群 G 中任何 2 個元素。通過 A1，a*h 也是 G 的成員。使用給定條件，我們知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:

• a*(a*b)*(a*b) = a*e
• a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
• (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
• e*(b*a)*e = a*b
• b*a = a*b。

因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

群的階

群 G 的階，通常指示為 |G| 或偶爾指示為 o(G)，在 <G,*> 是有限群的情況下是集合 G 中元素的數目。如果 G 是無限集合，則群 <G,*> 有等於 G 的勢的階，而且是無限群。

子群

G 的子集 H 被稱為群 <G,*> 的子群，如果使用相同的算子 "*"，並限制於子集 H 內，H 滿足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群，則 <H,*> 也是群，並在限制於 H 內，滿足上述定理。子群 H 的階是 H 中元素的數目。

群 G 的真子群是不同於 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一個不是 e 的元素的 G 的真子集。

定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群，則 在 H 中的單位元素 e_H 同一於 (G,*) 中的單位元素 e。

證明。如果 h 在 H 中，則 h*e_H = h；因為 h 必定也在 G 中，h*e = h；所以通過定理 1.4，e_H = e。

定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群，並且 h 是 H 的元素，則 h 在 H 中的反元素同一於 h 在 G 中的反元素。

證明。設 h 和 k 是 H 的元素，使得 h*k = e；因為 h 必定也在 G 中，h*h ^-1 = e；所以通過定理 1.5，k = h ^-1。

給定 G 的子集 S，我們經常想要確定 S 是否也是 G 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:

定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集，則 S 是 G 的子群，若且唯若對於所有 S 中的 a,b，a*b ^-1 在 S 中。

證明。如果對於所有 S 中的 a, b，a*b ^-1 在 S 中，則

• e 在 S 中，因為 a*a ^-1 = e 在 S 中。
• 對於所有 S 中的 a，e*a ^-1 = a ^-1 在 S 中。
• 對於所有 S 中的 a, b，a*b = a*(b ^-1) ^-1 在 S 中。

因此，滿足了閉包、單位元素和反元素公理，而結合律是繼承來的，所以 S 是子群。

反過來說，如果 S 是 G 的子群，則它滿足群公理。

• 如上所述，S 中單位元素同一於 G 中的單位元素 e。
• 通過 A4，對於所有 S 中的 b，b ^-1 在 S 中。
• 通過 A1，a*b ^-1 在 S 中。

兩個或更多個子群的交集也是子群。

定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。

證明。設 {H_i} 是 G 的子群的集合，並設 K = ∩{H_i}。通過定理 2.1，e 是所有 H_i 的成員；因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的兩個元素，則對於所有 i，

• h 和 k 在 H_i 中。
• 通過前面的定理，h*k ^-1 在 H_i。
• 所以，h*k ^-1 在 ∩{H_i} 中。

因此對於 K 中的所有 h, k，h*k ^-1 在 K 中。接著通過前面的定理，K=∩{H_i} 是 G 的子群；並且事實上 K 是每個 H_i 的子群。

給定一個群 <G,*>，定義 x*x 為 x², x*x*x*...*x (n 次)為 xⁿ，並定義 x⁰ = e。類似的，定義 x ^-n 為 (x ^-1)ⁿ。則我們有:

定理 2.5: 設 a 是群 (G,*) 的元素。則集合 { aⁿ: n 是整數 } 是 G 的子群。

證明。這種類型的子群叫做循環子群；a 的冪的子群經常寫為 <a>，並稱為 a 生成 <a>。

陪集

如果 S 和 T 是 G 的子集，並且 a 是 G 的元素，我們寫「a*S」來提及形如 a*s 的所有元素構成的 G 的子集，這里的 s 是 S 的元素；類似的，我們寫「S*a」來指示形如 s*a 的元素的集合。我們寫 S*T 表示形如 s*t 的元素構成的 G 的子集，這里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。

如果 H 是 G 的子群，則 H 對於某個 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。

如果 H 是 G 的子群，則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:

• 如果 x 和 y 是 G 的元素，則要麼 x*H = y*H，要麼 x*H 和 y*H 有空交集。

• 所有 H 在 G 中的左(右)陪集都包含相同數目的元素。

• G 是 H 的左(右)陪集們的互斥聯集集。

• 那麼 H 的不相同的左陪集的數目等於 H 的不相同的右陪集的數目。

定義群 G 的子群 H 的指標(寫為「[G:H]」)為 H 在 G 中不同的左陪集的數目。

從這些定理，我們可以推導出重要的拉格朗日定理，它有關於群的子群的階:

• 拉格朗日定理: 如果 H 是 G 的子群，則 |G| = |H|*[G:H]。

對於有限群，它可以重申為:

• 拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群，則 H 的階整除 G 的階。

• 如果群 G 的階是質數，G 是循環群。

參見

• 群論
• 阿貝爾群
• 群論術語

引用

• Jordan, C. R and D.A. Groups. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
• Scott, W R. Group Theory. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3