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截半立方體
截半立方體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
14
24
頂點 12
歐拉特徵數 F=14, E=24, V=12 (χ=2)
面的種類 正三角形
正方形
面的佈局英语Face configuration 8{3}+6{4}
頂點圖 3.4.3.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW dot.pngCDW 4.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
CDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施萊夫利符號 t1{4,3}
t0,2{3,3}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 | 3 4
3 3 | 2
康威表示法 CO
對稱群 Oh
and Th
參考索引 U07, C19, W11
對偶 菱形十二面體
特性 quasiregular
立體圖 Cuboctahedron vertfig.png
3.4.3.4
頂點圖
Rhombicdodecahedron.jpg
菱形十二面體
(對偶多面體)
Cuboctahedron flat.svg
(展開圖)

幾何學中,截半立方體是一種十四面體,由八個三角形與六個正方形組成,具有14個、12個頂點以及24條邊。是一種阿基米德立體[1],屬於半正多面體擬正多面體。其對偶多面體菱形十二面體

目录

性質编辑

截半立方體具有十二個結構相等的頂點,皆為兩個三角形與兩個正方形的公共頂點、24個結構相等的稜,相鄰面皆為三角形與正方形,兩面角反正割根號三[2],約125.26,因此同時具有點可遞和邊可遞的性質,因此是一種均勻多面體半正多面體擬正多面體,並且為阿基米德發現的13種半正多面體之一,因此也屬於阿基米德立體。此外,由於截半立方體可以視為立方體和其對偶多面體正八面體中三角形與正方形的組合,因此又是一種立方體和其對偶多面體正八面體立體混合物

 
截半立方體形成的四個正六邊形,以顏色分隔

截半立方體立方體透過截半變換構造而成的多面體,簡而言之是用立方體由一條棱斬到另一條棱的中點(即斬去立方體的頂點)而成。因此其正方形面的數目和立方體的面都為6,其三角形面數目和立方體的頂點數目都為8,共有面14個。因為同樣種類的正多邊形面棱不相交,故可以計算其邊數乘以面的數目來得其棱的數目:3×8=4×6=24。

截半立方體立方體透過截半變換構造而成的多面體,也可以由對偶——正八面體透過截半變換構成[3],因此也稱為截半八面體

截半立方體每六條棱可以成為一個正六邊形,共有四個獨立的六邊形。

座標编辑

一個邊長2的平方根的截半立方體,其頂點座標位於(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)[4],(0, ±1, ±1)的全排列。

體積與表面積编辑

表面積 ,體積 ,其中 是該截半立方體的邊長[2]

表面積 =  
體積 =  

作法编辑

截半立方體的作法有兩種,一種由立方體出發,另外一種由正八面體出發,同樣都是透過截半變換來構造。從立方體出發的方法為:將立方體的八個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體,而從正八面體出發的作法一樣是將頂點切到一半:將正八面體的六個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體。

截半立方體的康威多面體記號為aC或aO,由於截半變換的性質,對偶後結伴得到相同結果,即 a = ad ,因此可以得到 aC (截半立方體) = adC = a(dC) = aO (截半八面體)。

另外也可以由編號3的詹森多面體,J3——三角帳塔組成,兩個相反並交錯堆疊,稱為異相雙三角帳塔,而另外一種叫做同相雙三角帳塔,也是一種詹森多面體,編號J27

   

其他名稱编辑

正交投影编辑

截半立方體的正交投影
正方形
正三角形
頂點 歪斜
           
[4] [6] [2] [2]
菱形十二面體為截半立方體的對偶
           

球面鑲嵌编辑

相關多面體及鑲嵌编辑

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

也可以由倒角立方体經過特殊的切割方式而得。在切割成截半立方體之前可以得到一些不同的多面體,例如:

(可能的來源) 倒角立方體
(截邊立方體)
截角倒角立方體
(截邊截角立方體)
截半倒角立方體
(截邊截半立方體)
截半立方體
圖像  
菱形十二面體
 
倒角立方體
 
小斜方截半立方体
 
大斜方截半立方体
 
截半立方體
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagram                        
對偶多面體
對偶  
截半立方體
 
四角化截半立方體
 
鳶形二十四面體
 
六角化八面體
 
菱形十二面體
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagram                        
半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3


截半立方體圖编辑

截半立方體圖
 
四階對稱性
顶点 12
24
自同构群 48
属性 Quartic graph, Hamiltonian, regular

在圖論的數學領域中,與截半立方體相關的圖為截半立方體圖,是截半立方體之邊與頂點的圖英语1-skeleton,是一種阿基米德圖英语Archimedean graph。其共有12個頂點和24條稜,且是四次英语[quartic graph]]阿基米德圖英语Archimedean graph[8]

正交投影
 
六階對稱性

其他領域编辑

 
截半立方體是甲烷水合物的一種形式
甲烷被排列成截半立方體的冰分子包住

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  2. ^ 2.0 2.1 埃里克·韦斯坦因. Cuboctahedron. MathWorld. 
  3. ^ Ghyka, Matila. The geometry of art and life. [Nachdr.] New York: Dover Publications. 1977: 51–56, 81–84. ISBN 9780486235424. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. Cuboctahedron. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. 2nd. Hoboken: CRC Press: 620–621. 2002. ISBN 9781420035223. 
  5. ^ 珍.E.霍夫特(Jane E. Hoffelt). 我們住在同一個世界. 大穎【生活學習】. 胡洲賢 譯. 大穎. 2009. ISBN 9789866407758.  我們住在同一個世界(培養孩子包容的世界觀)~獲第32次中小學生優良課外讀物推介 互联网档案馆存檔,存档日期2016-02-04. 戴美心地圖 [2016-1-27]
  6. ^ 一般性地圖資料代碼 國家圖書館編目 第四頁 dg = 戴美克森氏投影 (dimaxion) 2001年10月
  7. ^ Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller
  8. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998 

外部連結编辑