群範疇

在數學上,群範疇(表記為GrpGp[1])指的是以為物件、以同態映射為態射,也因此這是個具體範疇,而研究這範疇的理論即是群論

群论
Cyclic group.svg

與其他範疇的關係编辑

群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子,其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon;另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中,M有兩個伴隨函子,其中一個I: Mon→Grp是右伴隨函子;而另一個K: Mon→Grp則是左伴隨函子;其中I: Mon→Grp是將所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子;而K: Mon→Grp則是將所有的幺半群映射至格羅滕迪克群英语Grothendieck group的函子;此外,遺忘函子U: Grp → Set則有一個以合成函子形式出現的左伴隨函子KF: Set→Mon→Grp,在這其中,F是自由函子,這自由函子會將每個集合S映射至由S產生的自由群

範疇性質编辑

群範疇當中的單態射即是同態單射;而其滿態射英语Epimorphism即是同態满射;而其同構映射即是同態雙射

群範疇是完全範疇英语Complete category,也同時是餘完全範疇英语Cocomplete category。其範疇─理論積即是群的直積;而其餘積英语Coproduct則是群的自由積。這個範疇的零對象則是當然群,也就是只包含單位元的群。

非可加性故非交換性编辑

阿貝爾群範疇英语Category of abelian groupsAb是群範疇的完全子範疇。Ab是一個交換範疇,但群範疇本身不是交換範疇;事實上,群範疇甚至不是可加範疇,而這是因為在兩個群同態之間,通常沒有可自然定義的「和」之故。以下為其證明:

三階對稱群S3映至自己的映射 有十個元素,其中z是一個 中的任一元素與之相乘都會得到z的元素(也就是將群中每個元素都映至單位元的映射);此外,有三個元素是一個固定邊的乘積總與自己相等的元素(也就是將這個群映至其二階子群的映射);另外還有六個是自同態映射。假定群範疇是個可加範疇,那這個有十個元素的集合 就會是一個;而在任何的環當中,都會有一個零元素0,使得對環中所有的元素x而言,都有0x=x0=0,因此z會是 中的零元素;然而,在 ,沒有任何兩個非零元素的乘積會是z,因此這會是一個無零因子的環;而一個無零因子有限環會是一個,但沒有一個會有十個元素,而這是因為每個有限域的元素個數都會是質數之故。

正合序列编辑

在群範疇中,正合序列是有意義的,而一些在阿貝爾範疇中成立的定理及其結果,像是九引理以及五引理等,在群範疇中也成立。群範疇是一個正則範疇英语Regular category

參考資料编辑

  1. ^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique. Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. 2004: 20 [2022-06-22]. ISBN 1-4020-1961-0. (原始内容存档于2022-06-22).