在数学上,群范畴(表记为GrpGp[1])指的是以为物件、以同态映射为态射,也因此这是个具体范畴,而研究这范畴的理论即是群论

群论


与其他范畴的关系

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群范畴有两个以群范畴为定义域的遗忘函子,其中一个是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon;另一个是映射至集合范畴的函子U: Grp → Set。在这其中,M有两个伴随函子,其中一个I: Mon→Grp是右伴随函子;而另一个K: Mon→Grp则是左伴随函子;其中I: Mon→Grp是将所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子;而K: Mon→Grp则是将所有的幺半群映射至格罗滕迪克群英语Grothendieck group的函子;此外,遗忘函子U: Grp → Set则有一个以合成函子形式出现的左伴随函子KF: Set→Mon→Grp,其中F是自由函子,这自由函子会将每个集合S映射至由S产生的自由群

范畴性质

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群范畴当中的单态射即是同态单射;而其满态射英语Epimorphism即是同态满射;而其同构映射即是同态双射

群范畴是完全范畴英语Complete category,也同时是余完全范畴英语Cocomplete category。其范畴─理论积即是群的直积;而其余积英语Coproduct则是群的自由积。这个范畴的零对象则是当然群,也就是只包含单位元的群。

非可加性故非交换性

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阿贝尔群范畴英语Category of abelian groupsAb是群范畴的完全子范畴。Ab是一个交换范畴,但群范畴本身不是交换范畴;事实上,群范畴甚至不是可加范畴,而这是因为在两个群同态之间,通常没有可自然定义的“和”之故。以下为其证明:

三阶对称群S3映至自己的映射 有十个元素,其中z是一个 中的任一元素与之相乘都会得到z的元素(也就是将群中每个元素都映至单位元的映射);此外,有三个元素是一个固定边的乘积总与自己相等的元素(也就是将这个群映至其二阶子群的映射);另外还有六个是自同态映射。假定群范畴是个可加范畴,那这个有十个元素的集合 就会是一个;而在任何的环当中,都会有一个零元素0,使得对环中所有的元素x而言,都有0x=x0=0,因此z会是 中的零元素;然而,在 ,没有任何两个非零元素的乘积会是z,因此这会是一个无零因子的环;而一个无零因子有限环会是一个,但没有一个会有十个元素,而这是因为每个有限域的元素个数都会是质数之故。

正合序列

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在群范畴中,正合序列是有意义的,而一些在阿贝尔范畴中成立的定理及其结果,像是九引理以及五引理等,在群范畴中也成立。群范畴是一个正则范畴英语Regular category

参考资料

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  1. ^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique. Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. 2004: 20 [2022-06-22]. ISBN 1-4020-1961-0. (原始内容存档于2022-06-22).