數學上,數體F上的n正交群,記作O(n,F),是F上的n×n 正交矩陣矩陣乘法下構成的。它是一般線性群GL(n,F)的子群,由

群論


給出。

這裏QTQ轉置。實數體上的經典正交群通常就記為O(n)。

更一般地,F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。

每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n×n正交矩陣組成一個O(n,F)的正規子群,稱為特殊正交群SO(n,F)。如果F特徵為2,那麼1 = −1,從而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指數是2。特徵2且偶數維時,很多作者用另一種定義,定義SO(n,F)為迪克森不變量的,這樣它在O(n,F)中總有指數2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代數群,因為如果一個矩陣是正交的條件,即轉置等於逆矩陣,能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。

實數體上的正交群

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實數體R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不會引起誤會時經常記為O(n)和SO(n)。他們是n(n-1)/2 李群。O(n,R)有兩個連通分支,SO(n,R)是單位分支,即包含單位矩陣的連通分支。

實正交群和特殊正交群有如下的解釋:

O(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群,E(n)是Rn等距群;O(n,R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面對稱的物件的對稱群

SO(n,R)是E+(n)的子群,E+(n)是「直接」等距,即保持定向的等距;SO(n,R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱物件的旋轉群。

{ I, −I }是O(n,R)的正規子群並是特徵子群;如果n是偶數,對SO(n,R)也對。如果n是奇數,O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直積k旋轉循環群Ck對任何正整數k都是O(2,R)和SO(2,R)的正規子群。

取合適的正交基,等距是

 

的形式。這裏矩陣R1,...,Rk是2×2旋轉矩陣。

對稱群是O(2,R),也稱為Dih(S1),這裏S1是模長1複數的乘法群。

SO(2,R) (作為李群)同構於圓S1圓群)。這個同構將複數exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩陣

 

群SO(3,R),視為3維空間的旋轉,是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式

代數拓撲方面,對n > 2,SO(n,R)的基本群2階循環,而自旋群Spin(n)是其萬有覆疊。對n = 2基本群是無限循環而萬有覆疊對應於實數軸(旋量群Spin(2)是惟一的2重覆疊)

李群O(n,R)和SO(n,R李代數斜對稱n×n矩陣組成,李括號交換子給出。這個李代數經常記為 o(n,R)或so(n,R)。

保持原點的3維同構

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保持R3原點不動的同構,組成群O(3,R),能分成如下幾類:

  • SO(3,R):
    • 恆同
    • 繞一個過原點的軸轉動不等於180°
    • 繞一個過原點的軸轉動180°
  • 以上與關於原點的點反演x映到−x)複合,分別為:
    • 關於原點的點反演
    • 繞一軸旋轉一個不等於180°的角度,與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
    • 關於一個過原點的平面的反射

特別地指出4階和5階正交群,在更寬泛的意義下6階也是,稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群

共形群

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作為保持距離的同構,正交轉換也保角,從而是共形轉換,但是不是所有的共形轉換都是正交轉換。Rn的線性共形映射構成的群記作CO(n),由正交群和收縮的乘積給出。如果n是奇數,兩個子群不相交,他們是直積: ;如果n是偶數,兩個子群的交是 ,所以這不是直積,但這是和正收縮子群的直積: 

我們可以類似地定義CSO(n),這時總有 

複數體上正交群

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複數體C上,O(n,C)和SO(n,C)是Cn(n-1)/2維的李群,這意味着實維數是n(n-1)。O(n,C)有兩個連通分支,SO(n,C)是包含恆同矩陣的分支。當n ≥ 2時,這些群非緊。

和實情形一樣,SO(n,C)不是單連通的,對n > 2 SO(n,C)的基本群是2階循環群,而SO(2,C)的基本群是無窮循環群。

O(n,C)和SO(n,C)的複李代數斜對稱n×n矩陣組成,李括號交換子給出。

拓撲

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低維數

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低維實正交群是熟悉的空間:

 

由於三維旋轉在工程中有重要應用,產生了很多SO(3)上的卡

同倫群

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正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關,從而一般是很難計算的。

但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群(也稱為有限正交群),定義為包含序列

 

正向極限(因為包含都是閉包含,從而是上纖維化,也能理解成)。

  齊性空間,從而有如下纖維叢

 

可以理解為:正交群  遞移地作用於單位球面 上,一點(看作一個單位向量)的穩定子群是其正交補餘的正交群,這是第一維的正交群。映射 是自然包含。

從而包含 (n-1) -連通的,故同倫群穩定,對  ,所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。

通過博特週期性定理, ,從而O的同倫群以8為週期,即  ,這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。

 

和KO-理論的關係

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通過cluching construction,穩定空間O的同倫群和穩定球面上的向量叢等價(同構的意義下),提高一個維數: 

 (使得 滿足週期性),我們得到:

 

同倫群的計算和解釋

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低維群
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最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。

  •  保持/反定向(這個類存留到 從而穩定)

 得出:

  •  自旋群
  •  ,有到 的滿射,從而後一個群消失。
李群
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李群一般性事實, 總消失, 自由阿貝爾群

向量叢
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從向量叢的觀點來看,  上的向量叢,具有兩個點。從而在每個點上,叢是平凡的,這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差,所以

 維數
環路空間
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利用博特週期性中環路空間具體的描述,我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用 O,以及O/U有兩個分支,   個分支,其實是連通的。

同倫群的解釋

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一小部分結論:[1]

  •  維數
  •  定向
  •  自旋
  •  拓撲量子場理論

 ,以及 為射影線 上的重複線叢, 是其K-理論。注意到 ,這些得出相應球面上的向量叢,以及:

  •   生成
  •   生成
  •   生成
  •   生成

有限群上的正交群

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正交群也能定義在有限體 上,這里 是一個質數 的冪。在這樣的域上定義正交群,偶數維時有兩類:  ;奇數維有一類: 

如果 是正交群 作用的向量空間,它可以寫成正交直和:

 

這里 雙曲線 不包含奇異向量。如果 ,那麼 是正類型;若 那麼 有偶維數;若 有維數2,則 是負類型。

n = 1的特例, 是階為 二面體群

當特徵大於2時,記O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。關於這些群的階數我們有以下公式

 

如果  中的平方元素

 
如果 不是 中的平方元素
 

迪克森不變量

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對偶數維正交群,迪克森不變量是從正交群到Z/2Z同態,是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變量和行列式等價:行列式等於−1的迪克森不變量次冪。

在特徵2的域上,行列式總為1,所以迪克森不變量給出了額外的資訊。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變量為0的元素,而不是行列式為1。

迪克森不變量也能對所有維數的克里福群Pin群類似地定義。

特徵2域上正交群

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特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同:

  • 任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標為2的4維向量空間(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特徵2域上的反射定義稍不同。特徵2域,垂直於一個向量u的反射將v映為v+B(v,u)/Q(uu,這里B是一個雙線性形式,Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德轉換是將v映到v-2·B(v,u)/Q(uu,當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。
  • 特徵2時正交群的中心總是1階,而不是2階。
  • 在特徵2的奇維數2n+1時,完全域上的正交群和2n維辛群相同。事實上特徵2時的辛形式時可交換的,而維數為奇數故總有一個1維的核,模去核的商是一個2n維辛空間,正交群作用在它上面。
  • 在特徵2的偶維數,正交群是辛群的一個子群,因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

旋量模

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旋量模是一個從域F上正交群到域F乘法群模去平方元素

F*/F*2

的同態,將關於模長為n向量的反射映到F*/F*2中的n

旋量模對實數體上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如實數體上不定二次型定義的正交群。

伽羅瓦餘調和正交群

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代數群伽羅瓦餘調理論,引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值,特別是二次型理論的聯繫; 但就目前所發現的現象而言,大部分都是「馬後炮」。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式(張量)可以與伽羅瓦H1等同起來。作為一個代數群,正交群一般不是連通或單連通的;第二個觀點是引入自旋現象,但前一個和判別式相聯繫。

一個旋量模的「spin」名字可以用與自旋群(更準確地pin群)的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦餘調(引入克里福代數的術語)來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列

 

這裏μ2單位根的代數群;在一個特徵非2的域上,粗略地看,和作用平凡的兩元素群相同。

H0(就是取值於F中點的群OV(F))到H12)的連接同態本質上是spinor模,因為 H12)同構於域模去平方元素的乘法群。

正交群的H1到自旋群覆疊的核的H2也存在連接同態。因餘調是非阿貝爾的,所以,至少用普通定義,這是我們能走得最遠的。

重要子群

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物理中,特別是在Kaluza-Klein緊化領域,找出正交群的子群非常重要。主要結論如下:

 
 
 
 

正交群O(n)也是一些李群的重要子群:

 
 
 
 
 
 
 

群O(10)在超弦理論中非常重要,因為它是10維時空的對稱群。

另見

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註釋

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  1. ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105. [2008-10-18]. (原始內容存檔於2021-02-11). 

參考文獻

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外部連結

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