使用者:A2560862780/圓
在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓 (英語:Circle)[註 1][1]
歷史 編輯
圓形,是一個看來簡單,實際上是十分奇妙的圖形。古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[2]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走。
約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。 古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子(約公元前468-前376年)才給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得(約公元前330-前275年)給圓下定義要早100年。
性質 編輯
解析幾何 編輯
圓心 編輯
圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用 表示)。[3]
弦 編輯
圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的弦(英語:chord)。如圖2, 分別為圓上任意兩點,那麼 就是圓的弦
弧 編輯
圓上任意兩點間的部分叫做弧(英語:arc),通常用符號 表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[3]
直徑、半徑 編輯
直徑:經過圓心的弦叫做直徑(用 表示)。[1]
半徑(英語:radius):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母 表示。
切線 編輯
假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的點叫做切點。如[1]如下圖,直線 與圓只有一個交點 ,那麼 就是圓的切線。 過圓上一點的切線:設該點為 圓的方程為 則該點和圓的切線方程為:
割線 編輯
一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem)。[1]如圖,直線 與圓有兩個公共點,那麼直線 就是圓的割線。
周長 編輯
圓的一周的長度稱為圓的周長(記作 )。圓的周長與半徑的關係是:
- 或
其中 是圓周率。
面積 編輯
圓的面積與半徑的關係是:
對稱性 編輯
圓心角、圓周角 編輯
圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為 。[註 2][1]如右圖, 為圓的圓心,那麼 為圓心角。
圓周角:頂點在圓周上,角兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖, 的頂點 在圓周上, 的兩邊 分別交在圓周上,那麼 就是圓周角。
圓心角定理 編輯
同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距[註 3]相等,此定理也稱「一推三定理」。[3]
圓周角定理 編輯
圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。[3]
如上圖, 為圓心, 分別為圓周上的點,那麼:
- 證明:
- 即:
圓周角定理的推論:
推論 :同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧。
推論 :半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
推論 :若三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形
垂徑定理 編輯
兩圓位置關係 編輯
兩個不同大小的圓(半徑分別為 及 ,圓心距為 ,其中 )之間的可能關係如下:
- :兩圓不相交(內含),互為同心圓。
- :兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
- :兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
- :兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
- :兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
- :兩圓不相交(外離),有4條共同切線。
圓系方程 編輯
在數學中,符合特定條件的圓構成一個集合,稱為圓系,描述圓系的方程即為圓系方程。
類型:
- 過兩圓 與 交點的圓系方程為:
- +λ( )=0(λ≠-1)
- 過直線 與圓 的交點為:
- +λ( )=0
- 過兩圓 與 交點的直線方程為:
其他定義 編輯
在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。
相關的立體圖形 編輯
切面為圓的三維形狀有:
圓和其他平面形狀 編輯
當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大(參見等周定理)。
圓的問題 編輯
參考資料 編輯
注釋 編輯
資料 編輯
參見 編輯
|
[[Category:圆| ]]
[[Category:圆锥曲线|Y]]
[[Category:定宽曲线]]
[[Category:初等几何|Y]]
引用錯誤:頁面中存在<ref group="註">
標籤,但沒有找到相應的<references group="註" />
標籤