整數

整數，在電腦應用上也稱為整型，是序列$\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示粗體$Z$或$\mathbb {Z}$，源於德語單詞Zahlen（意為「數」）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整數與負整數

主條目：正整數和負整數

整數是一個集合，通常可以分為正整數、零（0）和負整數。正整數（符號：Z⁺或$\mathbb {Z} ^{+}$）即大於0的整數，是正數與整數的交集。而負整數（符號：$Z^{-}$或$\mathbb {Z} ^{-}$）即小於0的整數，是負數與整數的交集。和整數一樣，兩者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常將0與正整數統稱為非負整數（符號：Z⁺₀或$\mathbb {Z} _{0}^{+}$），而將0與負整數統稱為非正整數（符號：Z^-₀或$\mathbb {Z} _{0}^{-}$）。在數論中自然數$\mathbb {N}$通常被視為與正整數等同，即1，2，3等，但在集合論和計算機科學中自然數則通常是指非負整數，即0，1，2等。

代數性質

下表給出任何整數$a,b,c$的加法和乘法的基本性質。

性質	加法	乘法
封閉性	$a+b$是整數	$a\times b$是整數
結合律	$a+(b+c)=(a+b)+c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
交換律	$a+b=b+a$	$a\times b=b\times a$
存在單位元素	$a+0=a$	$a\times 1=a$
存在反元素	$a+(-a)=0$	在整數集中，只有1或-1對於乘法存在整數反元素，其餘整數$a$關於乘法的反元素為${\frac {1}{a}}$，都不為整數。
分配律	$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

$\mathbb {Z}$是一個加法循環群，因為任何整數都是若干個1或-1的和。1和-1是$\mathbb {Z}$僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與$(\mathbb {Z} ,+)$同構。

有序性質

$\mathbb {Z}$是一個全序集，沒有上界和下界，其序列如下：

$\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots$

一個整數大於零則為正，小於零則為負。零既非正也非負。

整數的序列在代數運算下是可以比較的，表示如下：

• 若$a<b$且$c<d$，則$a+c<b+d$（加法）
• 若$a<b$且$c>0$，則$a\times c<b\times c$；若$c<0$，則$a\times c>b\times c$（乘法）

整數環是一個歐幾里德域。

電腦中的整數

主條目：整數 (計算機科學)

$\mathbb {Z}$的基數

$\mathbb {Z}$的基數（或勢）是ℵ₀，與$\mathbb {N}$相同。這可以從$\mathbb {Z}$建立一對射函數到$\mathbb {N}$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

當該函數的定義域僅限於$\mathbb {Z}$，則證明$\mathbb {Z}$與$\mathbb {N}$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

參見

• 整數數列線上大全
• 超整數